(教参)上册 第3章 微素养、专题突破七 垂径定理的应用-【精彩练习】2023-2024学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书word+课件PPT（浙教版，浙江专用）

　垂径定理的应用 【例1】 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为(　C　) 　　　　　　　　　　　　　 A． B． 2 C． 2 D． 8 【解析】 如图，过点O作OH⊥CD于点H，连结OC. ∵OH⊥CD，∴CH＝DH. ∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8， ∴OA＝4，∴OP＝OA－AP＝2. 在Rt△OPH中， ∵∠OPH＝∠APC＝30°， ∴OH＝OP＝1. 在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1， ∴CH＝＝， ∴CD＝2CH＝2. 例1题图 　　变式题图 【变式】 某公园新建的圆形人工湖如右上图所示．为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A，B，C三根木桩，使得＝，并测得B到AC的距离为3米，AC的长为60米，则人工湖的半径为__151.5__米． 【例2】 如图，AB，AC是⊙O的两条弦，M，N分别为，的中点，MN分别交AB，AC于点E，F.判断△AEF的形状并给予证明． 解：△AEF是等腰三角形． 证明：如图，连结OM，ON，分别交AB，AC于点P，Q. ∵M，N分别为，的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠MPE＝∠NQF＝90°， ∴∠PEM＝90°－∠M，∠QFN＝90°－∠N. ∵OM＝ON，∴∠M＝∠N， ∴∠PEM＝∠QFN. 又∵∠AEF＝∠PEM，∠AFE＝∠QFN， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF，即△AEF是等腰三角形． 【变式】 如图，M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB＝CD.求证：∠AMN＝∠CNM. 证明：如图，连结OM，ON. ∵点O为圆心，M，N分别为弦AB，CD的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD. ∵AB＝CD，∴OM＝ON， ∴∠OMN＝∠ONM. ∵∠AMN＝90°－∠OMN， ∠CNM＝90°－∠ONM， ∴∠AMN＝∠CNM. 【例3】 如图，将半径为12的⊙O沿AB折叠，恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB的长为(　C　) A．3 B．4 C．6 D．12 【变式】 如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M(0，－4)，N(0，－10)，反比例函数y＝(x<0)的图象过点P，则k的值为__28__． 1．下列说法：①平分弦的直径垂直于弦；②过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆；③圆是轴对称图形，直径是它的对称轴．其中正确的个数是(　B　) 　　　　　　　　　　　　　 A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是(　C　) A． B． C． D． 第2题图 　　　第3题图 3．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点分别为⊙P与x轴、y轴的交点，有一直线l通过点P且与线段AB垂直，点C为直线l与y轴的交点．若A，B，C三点的坐标分别为(a，0)，(0，4)，(0，－5)，其中a＜0，则a的值为(　A　) A．－2 B．－2 C．－8 D．－7 4．一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如下图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为__26__厘米． 5．如图，平面直角坐标系中有一点A(4，2)，在以M(0，3)为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，则点P的坐标是 __(，4)或(－，4)__． 6．已知：如图，在⊙O中，＝.求证：弦AB∥CD. 第6题图 　　　　第6题答图 证明：过点O作OE⊥AB，交⊙O于点E， ∴＝.∵＝，∴＝， ∴OE⊥CD，∴AB∥CD. 7．如图，隧道的截面由和矩形ABCD构成，矩形的长BC为12 m，宽AB为3 m，隧道的顶端E(的中点)高出道路(BC)7 m． (1)求所在圆的半径． (2)如果该隧道内设双行道，现有一辆超高货运卡车，车高6.5 m，宽2.3 m，那么这辆货运卡车能否通过该隧道？ 第7题图 　第7题答图 解：(1)如图，设圆心为点O，⊙O的半径为R，连结OE交AD于点F，连结OA，OD. 易知EF＝7－3＝4(m)，∴OF＝(R－4)m. 又OF垂直平分AD，∴AF＝AD＝BC＝6 (m). 由勾股定理，得AF2＋OF2＝OA2， ∴62＋(R－4)2＝R2， 解得R＝6.5， 即所在圆的半径为6.5 m. (2)如图，在EF上取一点G，使EG＝0.5 m，过点G作GH⊥EF，交于点H，连结OH. 易知OG＝OE－EG＝6 m，OH＝6.5 m， ∴GH＝＝2.5 m＞2.3 m， ∴这辆货运卡车能通过该隧道． 学科网（北京）股份有限公司 $$