(教参)上册 第3章 微素养、专题突破八 圆心角与圆周角定理的灵活运用-【精彩练习】2023-2024学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书word+课件PPT（浙教版，浙江专用）

　圆心角与圆周角定理的灵活运用 【例1】 如图，圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD，BC相交于点E.记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y.则以下结论中正确的是(　D　) A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 【解析】 如图1，连结OD，OC， ∵OD＝OC＝AB＝1，CD＝1， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠OCD＝60°， ∴∠AOD＋∠BOC＝120°. ∵OD＝OA，OB＝OC， ∴∠EAB＝(180°－∠AOD)，∠EBA＝(180°－∠BOC)， ∴∠E＝180°－∠EAB－∠EBA ＝180°－(180°－∠AOD)－(180°－∠BOC) ＝(∠AOD＋∠BOC)＝×120°＝60°，∴x°＝60°， ∴x＝60， 故x不随C，D运动而变化， ∵CD为定长1，∠DEC为定角60°， ∴以O′为圆心作圆，使CD为圆O′的一条弦，且∠DO′C＝120°， 此时E在圆O′上运动，如图2， 由图可知点E在圆O′上运动时，E到弦CD的距离在变化， 即在△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化． 【变式】 右图是一个圆形人工湖示意图，弦AB是湖上的一座桥，已知AB长为100 m，圆周角∠C＝45°，则这个人工湖的直径是(　A　) A．100m B．100m C．120m D．120m 【例2】 如图，在⊙O中，AB＝CD，弦AB与CD相交于点M. (1)求证：＝. (2)连结AD，若AD是⊙O的直径，求证：∠BAC＋2∠BAD＝90°. 证明：(1)∵AB＝CD，∴＝， ∴＋＝＋，∴＝. (2)∵＝，∴∠ADC＝∠BAD， ∴∠AMC＝∠MAD＋∠MDA＝2∠BAD. ∵AD是直径，∴∠ACD＝90°， ∴∠CAB＋∠AMC＝90°，∴∠CAB＋2∠BAD＝90°. 【变式】 如图，点A在半圆O上，BC是直径，＝.若AB＝2，则BC的长为 __2__． 【例3】 如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，且∠AOE＝50°.则∠B＋∠D＝__155__°. 例3题图 　　　例3题答图 【解析】 如图，连结AB. ∵∠AOE＝50°，∴∠ABE＝25°. ∵点A，B，C，D在⊙O上， ∴四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC＋∠D＝180°， ∴∠ABE＋∠EBC＋∠D＝180°， ∴∠EBC＋∠D＝180°－∠ABE＝155°. 【变式】 已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E. (1)如图1，若CD＝8，BE＝2，求⊙O的半径． (2)如图2，G是上一点，AG的延长线与DC的延长线相交于点F，求证：∠AGD＝∠FGC. 解：(1)如图1，连结OD， 设⊙O的半径为r，则OE＝r－2， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴DE＝DC＝4. 在Rt△OED中，OD2＝OE2＋DE2， 即r2＝(r－2)2＋42，解得r＝5，即⊙O的半径为5. (2)证明：如图2，连结AD， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴＝， ∴∠ADC＝∠AGD. ∵四边形ADCG是圆内接四边形， ∴∠ADC＝∠FGC， ∴∠AGD＝∠FGC. 1．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝40°，则∠BOC＝(　D　) A．40°　　B．50°　　C．70°　　D．80° 第1题图 　　第2题图 2．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，设∠ABC＝α，∠ABD＝β，∠AEC＝γ，则(　B　) A．α＋β－γ＝90° B．β＋γ－α＝90° C．α＋γ－β＝90° D．α＋β＋γ＝180° 3．如图，在⊙O中，若∠BAC＝24°，∠ACB＝42°，则∠ACO＝__24°__． 第3题图 　　第4题图 4．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD＝__120°__． 5．如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：AC＝BD. 第5题图 　　第5题答图 证明：连结OC，OD. ∵AB是⊙O的直径，∴AO＝BO. ∵M，N分别为AO，BO的中点， ∴OM＝ON. ∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°. 又∵OC＝OD，∴△OCM≌△ODN(HL)， ∴∠MOC＝∠NOD，∴AC＝BD. 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作圆O，分别交BC，AC于点D，E，连结OD，DE. (1)求证：BD＝DE＝DC. (2)若∠BAC＝50°，求∠ODE的度数． 解： (1)证明：连结AD