2024届高考数学一轮复习 讲义： 用样本估计总体

课题：用样本估计总体 知识点： 1频率分布直方图： （1）频率分布表的画法： 第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝； 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． （2）频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图） 横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率． 【注1】 （1）频率分布直方图的性质：小长方形的面积＝组距×＝频率；各小长方形的面积之和等于1；小长方形的高＝，所有小长方形的高的和为． （2）要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系． 2茎叶图 统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数． 【注2】 （1）茎叶图的三个关注点：“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一．重复出现的数据要重复记录，不能遗漏．给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小． （2）利用茎叶图解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确从中提炼信息． 3样本的数字特征 （1）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数． （2）中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． （3）平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数． （4）标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是 s＝， s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]． 【注3】 （1）频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． （2）平均数、方差的公式推广：若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a．数据x1，x2，…，xn的方差为s2．【①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2．】 【注4】 （1）平均数反映了数据取值的平均水平，而方差、标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． （2）用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征． 典型例题 例1中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 例2已知数据，，…，的平均值为，方差为，若数据，，…，的平均值为，方差为，则（       ）． A． B． C． D． 例3某品牌家电公司从其全部200名销售员工中随机抽出50名调查销售情况，销售额都在区间（5，25（（单位：百万元）内，将其分成5组：（5，9（，[9，13，（13，17（，（17，21（，（21，25（，并整理得到如下的频率分布直方图，下列说法正确的是（       ） A．频率分布直方图中a的值为0．06 B．估计全部销售员工销售额的中位数为15 C．估计全部销售员工中销售额在区间[9，13内有64人 D．估计全部销售员工销售额的第75百分位数为17 例4在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80～100分的学生人数是（　　） A．15　　　　　　　　　B．18 C．20 D．25 例5已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为s2，则（　　） A．＝4，s2<2 B．＝4，s2>2 C．>4，s2<2 D．>4，s2>2 例6若数据9，m，6，n，5的平均数为7，方差为2，则数据11，9，，17，的平均数和方差分别为（       ） A．