数列的通项的求法讲义-2023届高三数学二轮复习

数列的通项的求法 1、公式法： ①等差数列通项公式：；。 ②等比数列通项公式：；。 2、作差法： 已知（即）求，用作差法。 3、作商法： 已知求，用作商法：。 4、累加法： 若求，用累加法。 ，。 ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和。 5、累乘法： 已知求，用累乘法：。 ，。 6、构造法（待定系数法）： （1）形如（其中均为常数，）。 法一：设，整理可得，与题设比较系数得，即构成以为首项，以为公比的等比数列。利用等比数列的通项公式求出的通项整理得。 法二：由得两式相减并整理得，即可以把 构成以为首项，以为公比的等比数列。求出的通项再转化为累加法便可。 （2）形如型的递推式 ①当为一次函数类型（即等差数列）， 法一：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公比为的等比数列。 法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为第一种形式，求出，再用累加法便可求出。 ②当为指数函数类型（即等比数列）时，，也有可能是，或 法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项。 法二：由①，得②，两边同时乘以得③，由①③两式相减得，即，在转化为第三种形式便可求出。 法三：先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，再应用类型第一种形式的方法解决。 ③当为二次函数类型， 解法：利用待定系数法构造等比数列，令，与已知递推式比较，解出，从而转化为是公比为的等比数列。 （3）形如型的递推式 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解。 具体方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型。 7、归纳猜想： 由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明。 8、倒数变换法（同除法）： 形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式。 形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得。 ，令，这样就化归为型。 9、周期型： 此题的关键在于观察递推数列的形式，取一些特定的的值，求出数列的前几项的值，从而找到其周期，这样问题就迎刃而解了。 10、奇偶分析法： （1）对于形如型的递推公式求通项公式 ①当（为常数）时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论。 ②当为函数时，由，两式相减， 得到，分奇偶项来求通项。 （2）对于形如型的递推公式求通项公式 ①当（为常数）时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论。 ②当为函数时，由，两式相除，得到，分奇偶项来求通项。 11、取对数法构造等比数列求通项： 形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解。如 ，令。 形如型的递推式，在原递推式两边取对数得， 令，得：，化归为型，求出（注意：底数不一定要取，可根据题意选择）。 【题型1】公式法 1．若在等差数列{an}中，a3＝7，a7＝3，则通项公式an＝　 　． 2．已知等差数列{an}满足：a1+a3＝6，a2+a4＝10，则an＝　 　． 3．设{an}是公比不为1的等比数列，且a1＝2，a2+a3＝4，则{an}的通项公式an＝　 　． 4．等比数列{an}满足a3+a2＝6，a4+a3＝12，则该数列通项公式为an＝　 　． 5．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1、若a1、a2、a5成等比数列，则an＝　 　 【题型2】作差法 1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝　 　． 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝﹣2n2+3n+1，则an＝　 　． 3．设数列{an}的前n项和为Sn，若，则an＝　 　． 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝3+2n，则数列{an}的通项公式为　 　． 5．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣1，则{an}的通项公式为an＝　 　． 6．若数列{an}的前n项和为Snan，则数列{an}的通项公式是an＝　 　． 7．已知数列{an}前n项和为Sn，若Sn＝2an﹣2n，则an＝