第5章 小专题8 几何证明中常见的图形构造-【一课通】2023-2024学年八年级上册数学随堂小练习(青岛版)

可撕可裁 小专题8几何证明中常见的“图形构造” 一、利用等腰三角形的“三线合一”性质作辅助线 1.下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成 证明。 等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等， 那么两个角所对的边也相等。 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC 方法一 方法二 证明：如图，作∠BAC的平分线交BC于点D。证明：如图，作AD⊥BC于点D。 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,D为线段CE 的中点，BE=AC。 (1)求证：AD⊥BC: (2)若∠BAC=75°，求LB的度数。 二、利用“倍长线段法”构造全等三角形 3.在△ABC中，AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是 4.如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点 F,若∠AEF=∠FAE,BE=4,EF=1.6,则CF的长为 117 类型三利用等腰作平行线构造全等三角形 5.如图1，在△ABC中，AB=AC,点D在AB上，点E在AC的延长线上，连接ED交BC 于点F,DF=EF (1)求证：BD=CE: (2)如图2，连接CD,若∠DFB=45°，BC=6,求△BCD的面积 图 图2 类型四 利用截长补短构造三角形 6.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD是∠BAC的平分线。求证：AC=AB+BD。 7.阅读材料：“截长补短”法是通过此种思路构造全等三角形，从而得到线段（角）相等 的一种重要数学方法。如图，已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD 过点E,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。 8.如图，在△ABC中，∠A<60°，AB=AC,D是△ABC外一点，∠ACD=∠ABD=60°，用 等式表示线段BD,CD,AC的数量关系，并证明。 118[AD =AD. .△ABD≌△ACD(AAS)。 DE DF, ∴，AB=AC .R△AED≌RI△AFD(HL)。 方法二。证明：如图，作AD⊥BC于点D。 .AE=AF。 BE =CF, ..AB +AC=AE-BE +AF +CF=AE-CF +AE+ CF=2AE .∠ADB=∠ADC=90°。 7.解：(1)△ABC是等腰直角三角形。 ∠B=∠C, BE为角平分线，AE⊥AB,ED⊥BC 在△ABD和△ACD中. ∠ADB=∠ADC, .AE=DE。,△ADE为等腰三角形 LAD =AD. ∠BAE=∠BDE,∠ABE=∠DBE,BE=BE, .△ABD≌△ACD(AAS)。.AB=AC .△ABE≌△DBE(AAS). 2.(1)证明：如图，连接AE。 ∴.AB=BD。∴.△ABD为等腰三角形。 ∠C=45°，ED⊥DC. ∴.△EDC为等腰三角形。 E D C 综上所述，符合题意的三角形有△ABC,△ABD. ,EF垂直平分AB,∴.AE=BE。 △ADE,△EDC .BE=AC,..AE =ACo (2)AD与BE垂直。理由如下： :D是EC的中点，AD⊥BC。 :△ABE≌△DBE,∴，BA=BD,EA=ED。 (2)解：设∠B=x°。 ∴BE垂直平分AD,即AD⊥BE .AE=BE,∴.∠BAE=∠B=x°。 (3)BE是∠ABC的平分线， ,∠AEC=2x°. DE⊥BC,EA⊥AB,∴.AE=DE。 :AE=AC,∴.∠C=∠AEC=2x°。 [AE DE. 在RL△ABE和Rt△DBE中， 在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=3x°+75 BEBE, =180°， ∴.Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)。∴.AB=DB。 .x=35。,∠B=35°。 又：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°， 3.9<AB<19【解析】如图，延长AD到点E使 ∴.∠C=45°。 DE=AD,连接BE 又，ED⊥BC,∴，△DCE为等腰直角三角形。 .DE=DC。.AB+AE=BD+DC=BC=10。 D是BC的中点，∴.CD=BD 小专题8几何证明中常见的“图形构造” AD ED, 在△ACD和△EBD中 ∠ADC=∠EDB, 1.方法一。证明：如图，作∠B4C的平分线交BC CD BD. 于点D。 ∴.△ACD≌△EBD(SAS)。 AC=EB=5。AD=7,.AE=14。 由三角形的三边关系为14-5<AB<14+5,得 六.∠BAD=∠CAD 9<AB<19。 ∠B=∠C, 在△ABD和△ACD中 ∠BAD=∠CAD. AD =AD, 157 4.2.4 .∠C=∠EDC。∴.EC=ED 5.(1)证明：如图1，过点D作DG∥AE,交BC于 .EC BD 点G, ∴.AC=AE+EC=AB+BD ·∠FDG=∠E。在△DGF和△ECF中， 7