立体几何——空间向量与立体几何 学案-2024届高三数学一轮复习

立体几何 空间向量与立体几何 学案 思维导图 基础夯实 【核心知识整合】 考点1：空间向量及其线性运算 1.空间向量的概念 （1）空间向量及空间向量的模：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模. （2）空间向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为或. （3）零向量：规定长度为0的向量叫零向量，记为0. （4）单位向量：模为1的向量叫单位向量. （5）相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为-a. （6）共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量. 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有. （7）相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 2.空间向量的运算律 a.空间向量的加法、减法及数乘运算： （1）； （2）； （3）当时，； 当时，； 当时，. b.空间向量线性运算的运算律： 交换律：； 结合律：，； 分配律：，.（其中，） 3.共线向量和共面向量 （1）共线向量：对任意两个空间向量a，b（），的充要条件是存在实数，使. （2）直线的方向向量： O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得.把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量. （3）共面向量：如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量a平行于平面.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 考点2：空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作，，则叫做向量a，b的夹角，记作. 如果，那么向量a，b互相垂直，记作. 2.空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即. 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 由向量的数量积定义，可以得到：；. 3.空间向量数量积的运算律：，；（交换律）；（分配律）. 考点3：空间向量基本定理 1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得. 2.如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示. 4.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解 考点4：空间向量及其运算的坐标表示 1.空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分. 2.空间向量运算的坐标表示 （1）空间向量运算的坐标表示：设，，则 ，， ，，. （2）空间向量的平行、垂直、长度和夹角余弦的坐标表示： 当时，，，； ； ； . （3）空间两点间的距离公式：设，是空间中任意两点，则. 考点5：用空间向量研究直线、平面的位置关系 1.空间直线的向量表示式 取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，将代人①式，得 ②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 2.空间平面的向量表示式 取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使 ③. 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 3.空间中直线、平面的平行 ①直线与直线平行：设，分别是直线，的方向向量，由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得. ②直线与平面平行：设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则. ③平面与平面平行：设，分别是