重难点专题32 立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题32立体几何压轴小题（体积、角度、外接球等）九大题型汇总 题型1体积最值 1 题型2线线角最值取值范围 2 题型3线面角最值取范围 5 题型4面面角最值取值范围 8 题型5外接球问题 11 题型6外接球截面相关 12 题型7正方体截面相关 13 题型8代数式最值取值范围 16 题型9向量相关最值取值范围 18 题型1体积最值 【例题1】（2021·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体中，E是的中点，P是底面所在平面内一动点，设，与底面所成的角分别为（均不为0），若，则三棱锥体积的最小值是 A． B． C． D． 【变式1-1】1. （2021·全国·校联考二模）在长方体中，,分别在线段和上，，则三棱锥的体积最小值为 A．4 B． C． D． 【变式1-1】2. （2021·全国·高三专题练习）如图，已知直四棱柱的所有棱长等于1，，和分别是上下底面对角线的交点，在线段上，，点在线段上移动，则三棱锥的体积最小值为 . 【变式1-1】3. （2023春·广东·高三校联考阶段练习）设，，分别是棱长为2 的正方体的棱，，的中点，为上一点，且不与重合，且，，，在同一个表面积为S的球面上，记三棱锥的体积为，则的最小值是 . 【变式1-1】4.（2020·全国·高三竞赛）一个圆锥和一个圆柱，下底面在同一平面上，它们有公共的内切球.记圆锥的体积为，圆柱的体积为，且.则的最小值是 . 【变式1-1】5.（2021·福建·统考一模）如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段的中点，，，，与底面所成角为，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为 ． 题型2线线角最值取值范围 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【例题2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成角为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【变式2-1】1. （2022·全国·高三专题练习）如图，矩形中，，为边的中点，沿将折起，点折至处（ 平面），若为线段的中点，则在折起过程中，下列说法错误的是（    ） A．始终有 //平面 B．不存在某个位置，使得 平面 C．三棱锥体积的最大值是 D．一定存在某个位置，使得异面直线与所成角为 【变式2-1】2. （2021·全国·高三专题练习）如图，已知等边三角形中，，为的中点，动点在线段上（不含端点），记，现将沿折起至，记异面直线与所成的角为，则下列一定成立的是 A． B． C． D． 【变式2-1】3. （2020·全国·高三专题练习）将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，直线与所成的角为 A． B． C． D． 【变式2-1】4. （2021·浙江·校联考二模）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则当移动时，下列结论中错误的是（　　） A．平面 B．四面体的体积为定值 C．三棱锥的体积为定值 D．异面直线所成的角为定值 【变式2-1】5.（2020·全国·高三专题练习）将正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角为 A． B． C． D． 【变式2-1】6.（2021·全国·统考一模）如图所示的四棱锥中，底面与侧面垂直，且四边形为正方形，，点为边的中点，点在边上，且，过，，三点的截面与平面的交线为，则异面直线与所成的角为(    ) A． B． C． D． 【变式2-1】7.（2023·全国·高三专题练习）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°. 其中正确的是 .（填写所有正确结论的编号） 题型3线面角最值取范围 【例题3】（2020·全国·高三专题练习）在正方体中，分别为棱、的中点，为棱（含端点）上的任一点，则直线与平面所成角的正弦值的最小值为 . 【变式3-1】1. （2021·浙江绍兴·校联考二模）点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则与面所成角的正切值的最小值是 A． B． C． D． 【变式3-1】2. （2021·全