重难点专题34 立体几何体积问题八大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题34立体几何体积问题八大题型汇总 题型1公式法 1 题型2等体积转化法 4 题型3割补法 6 题型4体积比问题 8 题型5体积中的动点问题 10 题型6体积中的最值取值范围 13 题型7向量法求体积 16 题型8外接球问题 19 题型1公式法 【例题1】（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）长方形中，，点为中点（如图1），将点绕旋转至点处，使平面平面（如图2）．      (1)求证：； (2)点在线段上，当二面角大小为时，求四棱锥的体积． 【变式1-1】1. （2023秋·四川成都·高三统考阶段练习）如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且，．    (1)若为的中点，求证： 平面； (2)若与底面所成角为，求多面体的体积． 【变式1-1】2. （2022秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，，平面平面ABCD，，，．    (1)求证：平面平面PCD； (2)若点E为PB的中点，F为CD的中点，点M为AB上一点，当时，求三棱锥的体积． 【变式1-1】3. （2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．    (1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行； (2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积． 【变式1-1】4. （2023秋·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，是的中心，底面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)若，求三棱锥的体积. 【变式1-1】5.（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面是菱形，平面底面，，分别是，的中点，，，.    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求四棱锥的体积. 题型2等体积转化法 【例题2】（2021·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四边形，∠ADC=60°，，PA⊥面ABCD，E为PD的中点.    (1)求证：AB⊥PC； (2)若，求三棱锥P﹣AEC的体积. 【变式2-1】1. （2023秋·四川成都·高三石室中学校考开学考试）如图，在四棱锥中， 四边形为正方形，平面底面，且，设分别为的中点，．    (1)求证：； (2)求三棱锥的体积． 【变式2-1】2. （2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）如图，在几何体中，四边形是菱形，，平面平面，.    (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的体积. 【变式2-1】3 ．（2023秋·四川眉山·高三校考阶段练习）如图，在四棱锥中，面ABCD，，，，，E是PA的中点，G在线段AB上，且满足．    (1)求证：∥平面PBC (2)求三棱锥的体积． 【变式2-1】4. （2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 【变式2-1】5．（2023·全国·高三专题练习）如图，梯形中，，为中点，且，，将沿翻折到，使得．连接．    (1)求证：； (2)为线段上一点，若，求三棱锥的体积． 题型3割补法 【例题3】（2023秋·青海西宁·高三统考开学考试）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点，．    (1)求证：平面； (2)求多面体的体积． 【变式3-1】1. （2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，． (1)求证：B，D，E，四点共面； (2)求四棱锥的体积． 【变式3-1】2. （2023·四川泸州·校考三模）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．    (1)求证：直线、、交于一点； (2)若，求多面体的体积． 【变式3-1】3. （2023秋·广东广州·高三广州市第一中学校考阶段练习）如图，四边形是矩形，四边形是梯形， ，平面与平面互相垂直，．    (1)求证：． (2)若二面角为，求多面体的体积． 【变式3-1】4. （2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，中，，在平面上的射影为的中点．    (1)证明：． (2)求多面体的体积． 【变式3-1】5.（2022秋·广西桂林·高三校考阶段练习）如图所示的多面体中，四边形是矩形，，△，△都是边长为2的正三角形，    (1)证明：平面； (2)求这个多面体的体积. 题型4体积比问题 【例题4】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，四边形与四边形是全等的矩形，，若是的中点.    (1)求证：平面平面； (2)如果，