第五题 圆锥曲线的离心率问题-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第五题 圆锥曲线的离心率问题 高考真题 5. 设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 知识点总结 1. 椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做　 　.这两个定点叫做椭圆的　 　，两焦点间的距离叫做椭圆的 　. 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1) 若　 ，则集合P为椭圆； (2) 若　 　，则集合P为线段； (3) 若　 　，则集合P为空集． 2. 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性质 范围 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为　 　； 短轴B1B2的长为　 　 焦距 |F1F2|＝　 　 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 3. 直线与椭圆的弦长 将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．当Δ>0时，直线与椭圆有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1·x2＝，则弦长为|AB|＝|x1－x2|＝·＝， k为直线的斜率且k≠0. 当A，B两点坐标易求时也可直接用两点间距离公式|AB|＝求出． 4. 双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的　 　等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做　 　，两焦点间的距离叫做　 　. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1) 当　 　时，点P的轨迹是双曲线； (2) 当　 　时，点P的轨迹是两条射线； (3) 当　 　时，点P不存在． 5. 双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：　 　；对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈　 　， 其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝_ __，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝　 　；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2＝　 　 (c>a>0，c>b>0) 6. 抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　 　的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的__ _，直线l叫做抛物线的　 　. 7. 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0， x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 题型展示 椭圆的定义及应用 (1) 过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则点A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为　 . (2) 已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为　 　. 1. 注意椭圆定义的变形： |PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|. 2. 已知过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a. 求椭圆的方程 (1) 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3,0)，且以坐标轴为对