第六题 直线和圆的位置关系-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第六题 直线和圆的位置关系 高考真题 6. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 知识点总结 1. 直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d　 　r Δ__ __0 相切 d_ _r Δ__ __0 相离 d__ __r Δ__ __0 2. 圆的切线方程的常用结论 ①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. ②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. ③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2. 题型展示 直线与圆的位置关系 (1)(2022·怀化一模)已知a，b∈R，a2＋b2≠0，则直线l：ax＋by＝0与圆C：x2＋y2＋ax＋by＝0的位置关系是(　 　) A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 不能确定 (2) 与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是(　 　) A. 2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0 B. 2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 C. 2x－y＋＝0或2x－y－＝0 D. 2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 判断直线与圆的位置关系的方法：(1) d，r法；(2) Δ法；(3) 特殊点法(即直线过圆上或圆内一个，该直线与圆有公共点)． 圆的切线、弦长问题 (1) (2022·青岛期末)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　 　) A. －8 B. －6 C. －4 D. －2 (2) (2022·新高考Ⅰ卷)与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的直线的方程为　 　. 1. 弦长的两种求法： (1) 几何法：直线被圆截得的半弦长、弦心距d和圆的半径r构成直角三角形，即r2＝2＋d2. (2) 代数法：联立直线的方程和圆的方程，消去y转化为关于x的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长|AB|＝|x2－x1|＝·或|AB|＝|y2－y1|＝·(k为直线的斜率且k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线与圆的两个交点)． 2. 过一点求圆的切线的方法： (1) 过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x＝x0. (2) 过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：当斜率存在时，设为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当斜率不存在时要加以验证． 真题演练 一、单选题 1．圆与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知直线（为常数）与圆交于点，当变化时，若的最小值为2，则     A． B． C． D． 4．已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 5．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 6．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．圆过点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 9．圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（    ） A．36 B．18 C． D． 10．圆上到直线的距离为的点共有 A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为 ． 12．若直线与圆相交所得的弦长为，则 ． 13．设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ． 14．若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 模拟训练 一、单选题 1．直线分别与x轴，y轴交于两点，点在圆，则面积的