专题07 解三角形（专项训练）（全国通用）2027年春季高考数学

专题07 解三角形 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 题型01 正弦定理 2 题型02 余弦定理 3 题型03 三角形周长与面积 4 题型04 三角形三线（中线，高线，角平分线） 6 题型05 解三角形的实际应用 8 03 分层训练・达标过关1 巩固过关 11 能力提升 13 1、解决解三角形的基本思路是： （1）如果条件是两角一边、两边对角，优先正弦定理；如果已知两边夹角、三边，优先余弦定理。 （2）求出基础边长和角度后，再求面积、周长、高线、中线、角平分线。面积多用两边及其夹角的公式；中线、角平分线、高线，一般先算出对应边长，再借助余弦定理或者面积公式求解。 （3）把测量高度、距离、角度这类应用题，画出示意图，提炼出三角形模型，标注已知边长和角度，再回到正弦、余弦定理去计算，最后还原成实际问题答案。 题型01 正弦定理 正弦定理的解题技巧 （1）选定理条件：题目给出两角一边，或是两边及其中一边对角，优先用正弦定理，核心作用是边角互相转化，边的比例等于对应角正弦值的比例。 （2）处理多解情况：已知两边一对角时，要留意三角形解的个数，算出锐角后，检验这个角的补角是否也能构成三角形，避免漏解或者多算不存在的解。 （3）结合内角和：三角形三个内角相加为一百八十度，求出一个角之后，可直接算出剩下角，再搭配正弦定理继续求对应边长，最后可以用大边对大角快速验算结果是否合理。 1．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦定理计算易得. 【详解】由正弦定理可得. 故选：A. 2．（24-25高二·云南·合格考）的内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，由正弦定理得. 故选：C 3．（2024·山东·合格考）在中，内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理，则. 4．在中，已知，，，则（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用正弦定理求得的值，再结合大边对大角定理及三角形内角和性质确定B的唯一取值. 【详解】在中，已知，，，由正弦定理， 代入数值可得： ，所以， 由于，所以，所以. 题型02 余弦定理 余弦定理的解题技巧 （1）选用场景：已知三边，或者两边及其夹角，优先使用余弦定理；它可以直接由边长求角，也可以由两边和夹角求第三条边。 （2）判断角的类型：算出角的余弦值，正数对应锐角，负数对应钝角，等于零就是直角，用来快速判断三角形是锐角、钝角还是直角三角形。 （3）边角转换：式子中同时出现边和角的时候，可以用余弦定理把角换成边，统一全部条件为边长，方便化简计算，最后可根据大边对大角检验结果。 1．（25-26·云南·合格考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】运用余弦定理进行求解即可. 【详解】. 故选：C 2．（2025·江苏·合格考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 3．（2024·江苏·合格考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 【详解】因，则， 则. 故选：A 4．（24-25高二·云南·合格考）在中，三个内角，，的对边分别为，，.若，则______. 【答案】/0.25 【分析】应用余弦定理计算求解. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 题型03 三角形周长与面积 三角形周长与面积的解题技巧 （1）周长思路：周长就是三边相加，一般先利用正弦、余弦定理把未知边长全部求出来，再求和；不用单独背新公式，重点是先解出三角形各边。 （2）面积选择：优先用两边及其夹角求面积，题目给两角一边时，先用正弦定理求出邻边，再套面积公式。 （3）验算方法：算出面积后，可换一种方式再算一遍，同时注意边长必须满足三角形两边之和大于第三边，排除不合理结果。 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则a的值为（   ） A．4 B． C．12 D． 【答案】B 【详解】在中，已知，，面积. 由三角形面积公式可得：， 即，解得. 由余弦定理可得： . 因为，所以. 2．（2026·广东·春季高考）在中，角所对的边分别是，且． (1)求边长的值； (2)求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用正弦定理易得； （2）由三角形内角和求得角，再由和角公式求出的值，最后由三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）由正弦定理得，， 则； （2）由（1）得， 由可得 ， 则， 故． 3．已知的内角所对的边分别为. (1)求； (2)求的周长. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用辅助角公式化简题设三角函数式，并结合三角形内角的取值范围确定角； （2）利用余弦定理求边，再求三角形的周长． 【详解】（1）由，得， 因为，所以， 所以，解得． （2）由余弦定理得， 所以，所以的周长为. 题型04 三角形三线（中线，高线，角平分线） 三角形三线（中线，高线，角平分线）的解题技巧 （1）高线：求高优先使用面积公式。已知三角形两边与夹角算出面积，面积乘2再除以底边长度，就能得到这条底边上的高，计算简单，优先选用，不用复杂推论。 （2）中线：遇到中线，常用中线长公式，也可以把中线延长一倍构造全等三角形；也可以在分出的两个小三角形里直接用余弦定理列式求解中线长度，也可以利用平面向量求解。 （3）角平分线：角平分线有两个核心思路，一是角平分线比例定理，对应两边之比等于底边被分割两段的长度之比；二是把大三角形拆成两个小三角形，利用两个小三角形面积相加等于大三角形面积列式计算。 1．（2024·山东·合格考）在中，内角的对边分别为，若，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由，则， 则 ， 设上的高为，则，得. 2．（2024·福建·合格考）在中，. (1)求B； (2)若的周长为，求边上中线的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理，结合二倍角的正弦公式进行求解即可； （2）根据余弦定理，结合（1）的结论进行求解即可. 【详解】（1）根据正弦定理由， 因为，所以，即，所以； （2）由（1）可知，而，所以， 因此，由余弦定理可知：， 因为的周长为，所以有， 设边上中点为，所以， 由余弦定理可知：， 所以边上中线的长. 3．（2025·福建·合格考）在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求: (1)若，求． (2)若为角平分线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据余弦定理代入求解. (2)根据面积等于面积加上面积，用三角函数表示出来后即可求解. 【详解】（1）根据余弦定理，， 因为，，所以，解得. （2）设，由题意得，，，， 因为，所以， ， ， 因为，所以. 又因为，所以，. 题型05 解三角形的实际应用 实际应用的解题技巧 （1）建模画图：读懂应用题，画出平面图形，标记已知距离、仰角、俯角、方位角，从图形里找出目标三角形。 （2）角度翻译：分清仰角、俯角、方位角，把文字描述的角度转化成三角形的内角，不要标错角度。 （3）定理计算与作答：在三角形中使用正弦、余弦定理算出边长，最后把计算结果还原成实际问题结论，记得写单位。 1．（2025·江苏·合格考）海上A，B两个小岛相距20 n mile，从岛望岛和岛所成的视角为，从岛望岛和岛所成的视角为，则岛和岛之间的距离是（   ） A． mile B． mile C． mile D． mile 【答案】A 【分析】由正弦定理求边长即可． 【详解】根据题意，作图如下： 则，故， 由正弦定理得，即， ． 故选：A． 2．（2024·江苏·合格考）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由图结合余弦定理可得答案. 【详解】由图可得，， 则由余弦定理可得： . 故选：C 3．范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】设岳阳楼的高度为米， 由题意可知，即和均为直角三角形， 在中，，则，在 中，，则， 因为，且， 所以，即，解得， 故岳阳楼的高度为米. 4．（2025·山东·学业水平考试）如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是_________. 【答案】/ 【分析】利用平行线的性质求出 和 的内角，结合正弦定理求出 的长，最后根据线段的和差关系求得 的长度. 【详解】由题意可知 ， 所以 ，， 又因为 ，所以 ， 在 中，，， 由正弦定理 ， 得 ， 在 中，， 由正弦定理 ， 得 ， 因为 四点共线，且顺序如图所示， 所以 ， 故隧道 的长度是 . 巩固过关 1．（2024·云南·学业水平考试）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理解三角形. 【详解】中，由正弦定理，得. 故选：B 2．（25-26·云南·合格考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理建立方程，求解边长即可. 【详解】由题意得在中，，，， 由正弦定理得，解得，故C正确. 故选：C 3．（2024·云南·学业水平考试）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用余弦定理可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以由余弦定理可得：， 所以. 故选：D. 4．（2025·山东·学业水平考试）在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 【答案】C 【详解】在中，根据余弦定理： ， 代入已知条件，且， 得： ， 故. 5．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b等于________． 【答案】3 【详解】，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍）. 6．已知的三个内角所对的边分别为，，，，则边________． 【答案】 【详解】， 根据正弦定理得：，即，． 7．如图所示，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：米），已测得隧道两端点，到某一点的距离分别为500米和800米，角为，则之间的距离为________米. 【答案】700 【详解】依题意，由余弦定理得. 8．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求边的长度和的面积. 【答案】(1) (2)，的面积为 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理即可求解； （2）根据题意，得到，利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得：， 又，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以， 的面积. 能力提升 1．在中，已知内角、、所对的边分别为、、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 所以， 由余弦定理可得. 2．在中，角，，所对的边分别是，，，若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给的式子，综合余弦定理解得，根据正弦定理可得结果． 【详解】由余弦定理， 因为，整理得， 代入余弦定理可得，即， 由正弦定理，得． 3．中，，则最大角和最小角的和为_____. 【答案】/ 【分析】根据大边对大角找出最大角和最小角后用余弦定理求解. 【详解】因为，所以最大角和最小角分别为和， ，又，所以， 又，所以. 4．在中，，的面积为，则________． 【答案】 【分析】利用向量数量积公式以及三角形的面积公式列出等式即可求解. 【详解】由题可得：，解得：， 因为，所以. 5．在中，，，，是边上的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量中线定理，结合数量积的定义求解即可. 【详解】 在中，，，，是边上的中点， 所以， ， 因为，，， 所以， 所以， 因此. 6．临沂广播电视塔坐落于山东临沂北城新区，是山东省最高的广播电视塔，也是临沂的标志性城市建筑.如图，某测绘小组为了测量电视塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，两点相距，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，由正弦定理得， 则． 因为在点A测得塔顶P的仰角为，所以且， 又，故， 从而． 7．在中，，，，为中点，则的长度为______ 【答案】 【分析】借助向量的线性运算、模长与数量积的关系计算即可. 【详解】因为为中点，则， 所以 ，所以的长度为. 8．在 中，，，，为的平分线．求的长． 【答案】 【详解】由可得， 所以． 9．（2026·广东·合格考模拟）在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，判断的形状． 【答案】(1)； (2)； (3)正三角形． 【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答. （2）代入给定等式计算作答. （3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答. 【详解】（1）在中，由及余弦定理得，而， 所以. （2）由，及，得， 所以. （3）由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小： (2)设的面积为，外接圆的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理得, 又，∴. （2）∵的面积为， 则， 又外接圆的面积为，设外接圆的半径为， 由正弦定理得，即， 则，. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 解三角形 内容导航 01 方法总结・技巧提炼 1 02 题型探究・深度突破 题型01 正弦定理 2 题型02 余弦定理 2 题型03 三角形周长与面积 3 题型04 三角形三线（中线，高线，角平分线） 4 题型05 解三角形的实际应用 5 03 分层训练・达标过关 巩固过关 6 能力提升 7 1、解决解三角形的基本思路是： （1）如果条件是两角一边、两边对角，优先正弦定理；如果已知两边夹角、三边，优先余弦定理。 （2）求出基础边长和角度后，再求面积、周长、高线、中线、角平分线。面积多用两边及其夹角的公式；中线、角平分线、高线，一般先算出对应边长，再借助余弦定理或者面积公式求解。 （3）把测量高度、距离、角度这类应用题，画出示意图，提炼出三角形模型，标注已知边长和角度，再回到正弦、余弦定理去计算，最后还原成实际问题答案。 题型01 正弦定理 正弦定理的解题技巧 （1）选定理条件：题目给出两角一边，或是两边及其中一边对角，优先用正弦定理，核心作用是边角互相转化，边的比例等于对应角正弦值的比例。 （2）处理多解情况：已知两边一对角时，要留意三角形解的个数，算出锐角后，检验这个角的补角是否也能构成三角形，避免漏解或者多算不存在的解。 （3）结合内角和：三角形三个内角相加为一百八十度，求出一个角之后，可直接算出剩下角，再搭配正弦定理继续求对应边长，最后可以用大边对大角快速验算结果是否合理。 1．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）已知的内角的对边分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二·云南·合格考）的内角，，的对边分别为，，.若，，，则（   ） A． B． C． D．1 3．（2024·山东·合格考）在中，内角的对边分别为，若，，，则（   ） A． B． C． D． 4．在中，已知，，，则（     ） A． B．或 C． D．或 题型02 余弦定理 余弦定理的解题技巧 （1）选用场景：已知三边，或者两边及其夹角，优先使用余弦定理；它可以直接由边长求角，也可以由两边和夹角求第三条边。 （2）判断角的类型：算出角的余弦值，正数对应锐角，负数对应钝角，等于零就是直角，用来快速判断三角形是锐角、钝角还是直角三角形。 （3）边角转换：式子中同时出现边和角的时候，可以用余弦定理把角换成边，统一全部条件为边长，方便化简计算，最后可根据大边对大角检验结果。 1．（25-26·云南·合格考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．2 2．（2025·江苏·合格考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏·合格考）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二·云南·合格考）在中，三个内角，，的对边分别为，，.若，则______. 题型03 三角形周长与面积 三角形周长与面积的解题技巧 （1）周长思路：周长就是三边相加，一般先利用正弦、余弦定理把未知边长全部求出来，再求和；不用单独背新公式，重点是先解出三角形各边。 （2）面积选择：优先用两边及其夹角求面积，题目给两角一边时，先用正弦定理求出邻边，再套面积公式。 （3）验算方法：算出面积后，可换一种方式再算一遍，同时注意边长必须满足三角形两边之和大于第三边，排除不合理结果。 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积为，则a的值为（   ） A．4 B． C．12 D． 2．（2026·广东·春季高考）在中，角所对的边分别是，且． (1)求边长的值； (2)求的面积． 3．已知的内角所对的边分别为. (1)求； (2)求的周长. 题型04 三角形三线（中线，高线，角平分线） 三角形三线（中线，高线，角平分线）的解题技巧 （1）高线：求高优先使用面积公式。已知三角形两边与夹角算出面积，面积乘2再除以底边长度，就能得到这条底边上的高，计算简单，优先选用，不用复杂推论。 （2）中线：遇到中线，常用中线长公式，也可以把中线延长一倍构造全等三角形；也可以在分出的两个小三角形里直接用余弦定理列式求解中线长度，也可以利用平面向量求解。 （3）角平分线：角平分线有两个核心思路，一是角平分线比例定理，对应两边之比等于底边被分割两段的长度之比；二是把大三角形拆成两个小三角形，利用两个小三角形面积相加等于大三角形面积列式计算。 1．（2024·山东·合格考）在中，内角的对边分别为，若，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D．2 2．（2024·福建·合格考）在中，. (1)求B； (2)若的周长为，求边上中线的长. 3．（2025·福建·合格考）在中，，，三个内角所对的边分别为，，．已知，，求: (1)若，求． (2)若为角平分线，求的取值范围． 题型05 解三角形的实际应用 实际应用的解题技巧 （1）建模画图：读懂应用题，画出平面图形，标记已知距离、仰角、俯角、方位角，从图形里找出目标三角形。 （2）角度翻译：分清仰角、俯角、方位角，把文字描述的角度转化成三角形的内角，不要标错角度。 （3）定理计算与作答：在三角形中使用正弦、余弦定理算出边长，最后把计算结果还原成实际问题结论，记得写单位。 1．（2025·江苏·合格考）海上A，B两个小岛相距20 n mile，从岛望岛和岛所成的视角为，从岛望岛和岛所成的视角为，则岛和岛之间的距离是（   ） A． mile B． mile C． mile D． mile 2．（2024·江苏·合格考）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2025·山东·学业水平考试）如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是_________. 巩固过关 1．（2024·云南·学业水平考试）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26·云南·合格考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南·学业水平考试）的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若，，，则（   ） A． B． C．4 D．3 4．（2025·山东·学业水平考试）在中，角的对边分别为.若，则（    ） A．1 B． C． D．7 5．（2026·天津南开大学附属中学·模拟）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则b等于________． 6．已知的三个内角所对的边分别为，，，，则边________． 7．如图所示，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：米），已测得隧道两端点，到某一点的距离分别为500米和800米，角为，则之间的距离为________米. 8．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)求边的长度和的面积. 能力提升 1．在中，已知内角、、所对的边分别为、、，且，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，角，，所对的边分别是，，，若，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 3．中，，则最大角和最小角的和为_____. 4．在中，，的面积为，则________． 5．在中，，，，是边上的中点，则（     ） A． B． C． D． 6．临沂广播电视塔坐落于山东临沂北城新区，是山东省最高的广播电视塔，也是临沂的标志性城市建筑.如图，某测绘小组为了测量电视塔的实际高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点，，现测得，，，两点相距，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，为中点，则的长度为______ 8．在 中，，，，为的平分线．求的长． 9．（2026·广东·合格考模拟）在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，判断的形状． 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小： (2)设的面积为，外接圆的面积为，求. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $