第八题 三角恒等变换-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第八题 三角恒等变换 高考真题 8. 已知，则（ ）． A. B. C. D. 知识点总结 1. 两角和、差公式 (1) C(α∓β)：cos(α∓β)＝　 　； (2) S(α±β)：sin(α±β)＝　 　； (3) T(α±β)：tan(α±β)＝　 　. 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝　 　； cos2α＝　 　＝　 　＝　 　； tan2α＝. 3. 辅助角公式 函数y＝asin x＋bcos x可化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式， asin x＋bcos x＝　 　，其中tan φ＝. 4. 常用结论 (1) tanα±tanβ＝　 　； (2) 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝； (3) 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin. 题型展示 和、差、倍角公式的直接应用 (1) tan18°＋tan12°＋tan18°tan12°等于( 　) A. B. C. D. (2) (2022·湛江一模)已知cosα＝，0<α<，则sin等于(　 　) A. B. C. － D. － 解这类给值求值问题的关键是先分清S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．此类题的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什么”． 拆、配角问题 (1) (2022·烟台期末)已知α∈，cos＝，则cosα的值为　 　. (2) 已知α为锐角，且cos＝，则sinα等于(　 　) A. B. C. D. 1. 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等． 三角函数式的化简 当π<α<2π时，化简： ＝　 　. 1. 三角函数的化简与求值渗透了逻辑推理和数学运算素养，遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2. 常采取转化法及利用分类讨论、转化与化归思想解题． 三角函数的求值与求角 (1) (2022·唐山二模)已知0<α<β<2π，函数f(x)＝5sin，若f(α)＝f(β)＝1，则cos(β－α)等于(　 ) A. B. － C. D. － (2) 若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是　 . (3) (积化和差)求值：cos40°cos80°＋cos80°cos160°＋cos160°cos40°＝　 　. 三角函数的求值思路：(1) 先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值． 三角函数的求角思路：(1) 先求角的某一个三角函数值；(2) 确定角的取值范围；(3) 根据角的取值范围写出所求角的大小． 辅助角公式应用 已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R. (1) 求f的值； (2) 若sinα＝，且α∈，求f的值． 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 真题演练 一、单选题 1．已知，则（    ）． A． B． C． D． 2．已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 5．函数是 A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．（    ） A． B． C． D． 8．函数的最小正周期和最大值分别是（    ） A．和 B．和2 C．和 D．和2 9．若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若函数的最大值为2，则常数的一个取值为