3.1.3函数的奇偶性（第二课时）-【高效课堂】2023-2024学年高一数学同步精讲课件（人教B版2019必修第一册）

3.1.3函数的奇偶性（2） 生活中处处都能看到对称美，具有奇偶性的函数有广泛的应用，它们有哪些性质呢？这节课我们一起来学习一下吧. 1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征； 2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式；(难点） 3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性.（重点） 思考1：已知满足,分别在条件“是偶函数”与“是奇函数”下求出的值. 如果是偶函数，则; 如果是奇函数，则. 探究点1 利用函数的奇偶性研究函数的单调性 思考2： 已知函数满足,分别在条件“是偶函数” 与“是奇函数”下比较与的大小. ①若是偶函数，则.因此，; ②若是奇函数，则. 因为, 则,即. 函数具有奇偶性时，它的单调性有什么规律吗？ 思考3：已知函数是偶函数，是奇函数，它们的部分图象如下，补全函数图象，并总结出当函数具有奇偶性时，函数单调性的规律. 如果是偶函数，那么其在和时的单调性相反; 如果是奇函数，那么其在和时的单调性相同. 例1 研究函数的性质，并作出函数图象. 【解析】要使函数有意义，需有,因此函数的定义域为,关于原点对称.又因为 所以，函数是偶函数.因此，函数图象关于轴对称. 下面先研究函数在区间上的性质. 因为,时，有 所以，在上是减函数. 函数的性质一般从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面分析 下面列表描点作出函数在区间的图象. 随着变小趋向于时，的值逐渐变大趋向于正无穷大；随着变大时，的值逐渐变小趋向于0，但始终大于0. 由的图象可知在上单调递增，在上单调递减， 值域是. 由是偶函数，图象关于轴对称，就可以得到上的图象. 跟踪训练 研究函数的性质，并作出函数图象. 【解析】函数的定义域为,关于原点对称.又因为 所以，函数是奇函数.因此，函数图象关于原点对称. 下面先研究函数在区间上的性质. 因为,时，有 当时，,所以，函数在上是增函数. 当时，,所以，函数在上是减函数. 下面列表描点作出函数 在区间的图象. 由是奇函数，图象关于原点对称，就可以得到上的图象. 由的图象可知在和上单调递增，在和上单调递减，值域是. 3 9 6 例2 若是偶函数，其定义域为(-∞,+∞)，且在[0,+∞)上是减函数，则与的大小关系是______. 【分析】要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小. 【解析】因为 又因为是偶函数，所以 又因为在［0,+∞)上是减函数,所以 即. 探究点2 函数的对称轴与对称中心 思考1：我们是如何推导出偶函数图象关于轴对称的呢？ y o P Q 轴上关于原点对称的两点（与）对应的函数值相等. 即函数图象关于轴对称. 思考2：如果函数图象关于直线对称，那么怎么用符号表示呢？ y o 在数轴上取关于对称的两点.若坐标是,则点的坐标是 . 这两点的函数值相等，即 . A B y o 函数图象关于直线对称 例3 求证：二次函数的图象关于对称. 【解析】任取,因为 所以，,这就说明函数的图象关于对称. 若函数满足则图象关于直线对称 思考3：我们是如何推导出奇函数图象关于原点对称的呢？ 轴上关于原点对称的两点（与）对应的函数值相反. 即函数图象关于原点对称. 思考4：如果函数图象关于对称，那么怎么用符号表示呢？ y o y o 在数轴上取关于对称的两点.若坐标是,则点的坐标是 . 这两点的函数值相反，即 . A B y o 函数图象关于点对称 两个性质： 函数的奇偶性 综合应用 两种对称：轴对称、中心对称 1.奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性； 偶函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相反的单调性； 2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于ｙ轴对称． $$