专题3-5 外接球与内切球，棱切球·14类题型-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题3-4 外接球与内切球，棱切球·14个类型 【外接球模型1】——柱体背景的模型 类型一、墙角模型 长方体的外接球（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 类型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，， 列方程组，， 补充：图2-1中，. 第三步：根据墙角模型，，， ，求出. 类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 【外接球模型2】——正弦定理+勾股（锥体背景的外接球模型） 类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径） 正弦定理求大圆直径是通法 1．如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出； 事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出. 2．如图4-2，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ② 3．如图4-3，平面平面，且（即为小圆的直径） 4．题设：如图4-4，平面平面，且（即为小圆的直径） 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径； 第二步：在中，可根据正弦定理，求出. 类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面，考得比较多） 1．题设：如图5，平面，求外接球半径.（一条侧棱垂直底面） 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，的射影是的外心三棱锥的 三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 【外接球模型3】——锥体背景的模型 类型六、折叠模型（二面角模型） 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6) 第一步：先画出如图6所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和； 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接； 第三步：解，算出，在中，勾股定理： 注：易知四点共面且四点共圆，证略. 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：如图7，，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值. 类型八、锥体的内切球问题 1．题设：如图8-1，三棱锥上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 2．题设：如图8-2，四棱锥是正四棱锥，求其内切球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线； 第二步：求，，是侧面的高； 第三步：由相似于，建立等式：，解出 3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法） 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积； 第二步：设内切球的半径为，建立等式： 第三步：解出 类型九、台体外接球模型 球内接圆台，棱台 ，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主 类型十、棱切球 方法：找切点，找球心，构造直角三角形 2022年新高考II卷T7——台体外接球 1． 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2． （2020·全国2卷T11）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积