专题3-3 立体几何中的平行，垂直通关训练-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题3-3 立体几何中的平行，垂直通关训练 目录 题型一 平行，垂直的相关证明 2 题型二 由平行关系确定点的位置 12 题型三 由平行关系确定动点的轨迹再求最值 17 题型四 由垂直关系确定动点的轨迹或位置 25 题型五 由垂直关系确定动点的轨迹再求最值 29 重点题型·归类精讲 题型一 平行，垂直的相关证明 【例题】线面平行证明方法讲解（中位线法，平行四边形法，构造平行平面法） 母题：如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中点． 方法一：作相交平面找线 （1） 证明BE//平面PAD 解析：模型铺垫：AB∥平面βAB∥DE 【简析】若BE//平面PAD，则必有BE//PG，所以所以要证明BE//平面PAD，只需证明BE//PG即可.（中位线） （2） 若F是DC的中点，证明PA//平面BEF 【简析】若PA//平面BEF，则必有PA//EM，所以要证明PA//平面BEF，只需证明PA//EM即可.（中位线） 方法二：BE//平面PAD（正向平移法：构造平行四边形） 【简析】将BE向平面PAD中平移，易知将线段BE沿BA平移，可得E点轨迹，取PD中点M，由平行四边形可得BE∥AM，故BE//平面PAD. （3）方法三：BE//平面PAD（反向平移法：构造面面平行） 【简析】将PD，AD平移，使之与BE共面，可得平面BEH，易知BH∥AD，EH∥PD，则平面EHB//平面PAD，故BE//平面PAD. 四边形法证平行 1． 如图，在正方体中，E，F分别是，CD的中点，求证：平面． 【分析】取中点G，连接FG，，证四边形是平行四边形，结合线面平行的判定即可推理作答. 【解答】在正方体中，取中点G，连接FG，，如图（T点是第二问的不用管）， 而F是CD的中点，则，，又E是的中点，则，， 因此，，，四边形是平行四边形，有，而平面，平面，平面. 中位线法证平行 2． 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，M为PB上靠近B的三等分点，求证：平面ACM. 证明：如图，连接BD，交AC于点N，连接MN. 因为，，所以，又M为PB靠近B的三等分点，所以，所以，所以，又平面AMC，平面AMC，所以平面AMC. 做平行平面法证平行 3． 如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是△的中线，点E是棱的中点，证明：∥平面． 【分析】连接、，平行四边形的性质、线面平行的判定可得平面、平面，再根据面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性质可证结论 构造2个平面的交线：线线平行线面平行 4． 如图，三棱柱中，E，P分别是和CC1的中点，点F在棱上，且，证明：平面EFC． 【答案】证明：连结PB1，交CE于点D，连结DF，EP，CB1， 因为E，P分别为B1C1，CC1的中点，故EP∥CB1且EP＝CB1， 故 ，又B1F＝2，A1B1＝3，故， 所以FD∥A1P，又FD⊂平面EFC，A1P⊄平面EFC， 故A1P∥平面EFC. 5． 如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，且PD⊥面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． 证明：l∥CB 【证明】证明：因为 ABCD 为正方形，∴ BC∥AD， 又∵ BC平面 PAD，AD平面 PAD． ∴ BC∥平面PAD 又 ∵BC 平面 PCB，平面 PAD∩平面 PCB＝l， ∴ l∥CD． 线面垂直 6． 如图，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面．求证：平面； 【解答】解：证明：取的中点，连接，， 则，．又，，所以，，则四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以，所以． 又，，，平面，所以平面 异面直线垂直 7． 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．证明：； 【解答】证明：连接， ，分别为直三棱柱的棱和的中点，且， ，， ，， ，， ，即,△ABC为等腰直角三角形. 取BC中点G，因为EG∥AB，所以BF⊥EG， 又∵△BFC≌△B1GB，故B1G⊥BF ∴BF⊥平面EGB1D ∵DE平面EGB1D ∴BF⊥DE 8． （杭州二模）在三棱锥中,底面△ABC为等腰直角三角形,. 求证：AC⊥SB 【详解】 法一：利用全等 证明：取的中点为E，连结， ∵，∴， 在和中， ∴，∴， ∵的中点为E，∴， ∵，∴面， ∵面，∴ 法二：构造等腰直角三角形，取SB中点M，易知AM=CM，故EM⊥AC 面面垂直 9． 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC 【详解】（1）方法一： 因为底面ABCD，平面ABCD， 所以． 因为ABCD为正方形，所以， 又因为，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB．