广东省东莞市第四高级中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题

东莞四中2023-2024高三第一学期数学月考试题与答案 一、单项选择题: 1.已知集合,,则( ) A. B. C. D. 2. 已知,是实数,则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.下列函数既是偶函数,又在上单调递增的是( ) A. B. C. D. 4.在的展开式中,的系数是( ) A. B.8 C. D.4 5.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A.升 B.升 C.升 D.升 6. 函数的大致图象为( ) A. B.C. D. 7.已知,,,则( ) A. B. C. D. 8.已知函数图像关于原点对称,其中,,而且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题: 9. 已知函数,则( ) A.的最小正周期为 B.点是图象的一个对称中心 C.在上单调递增 D.将的图象上所有的点向右平移个单位长度,可得到的图象 10.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球,则下列说法正确的是( ) A.从中任取3球,恰有2个白球的概率是; B.从中有放回的取球6次,每次任取一球,设取到红球次数为X,则; C.现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为; D.从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到白球的概率为. 11.已知函数存在极值点,则实数a的值可以是( ) A.0 B. C. D. 12. 生态学研究发现:当种群数量较少时,种群近似呈指数增长,而当种群增加到定数量后,增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小,为了刻画这种现象,生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型:,其中,r,K是常数,表示初始时刻种群数量,r叫做种群的内秉增长率,K是环境容纳量.可以近似刻画t时刻的种群数量.关于函数的判断正确的是( ) A.如果,那么存在; B.如果,那么对任意; C.如果,那么存在在t点处的导数; D.如果,那么的导函数在上存在最大值. 三、填空题: 13.在△ABC中,,,,则 . 14.某中学为庆祝建校130周年,高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动,活动结束后5名老师排成一排合影留念,要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻,则排法共有_种(用数字作答). 15.已知角θ 的大小如图所示,则的值为_ 16.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数,他们根据沙粒或小石子所排列的形状,把数分成许多类,如图,第一行图形中黑色小点个数:1,3,6,10,…称为三角形数,第二行图形中黑色小点个数:1,4,9,16,…称为正方形数,记三角形数构成数列,正方形数构成数列,则 ; . 四、解答题: 17. 在△ABC中,内角,,所对的边分别为,,,,,. (1)求的值;(2)求的值;(3)求的值. 18.已知等差数列的前项和为,,. (1)求的通项公式;(2)证明:. 19.小家电指除大功率,大体积家用电器(如冰箱、洗衣机、空调等)以外的家用电器,运用场景广泛,近年来随着科技发展,智能小家电市场规模呈持续发展趋势,下表为连续5年中国智能小家电市场规模(单位:千亿元),其中年份对应的代码依次为1~5. 年份代码 1 2 3 4 5 市场规模(单位:千亿元) 1.30 1.40 1.62 1.68 1.80 (1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合与的关系,请用样本相关系数加以说明(若,则线性相关程度较高,精确到0.01); (2)建立关于的经验回归方程. 参考公式和数据:样本相关系数,,,,,. 20. 设正项数列的前项和为,且. (1)求数列的通项公式;(2)记的前项和为,求证:. 21.某中学举行数学竞赛,竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行,要求每个年级派出两名同学,且每名同学都要参加两轮比赛,两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三年级派出甲和乙参赛.在初赛中,若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是,,乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是,,且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三年级获得决赛资格的同学个数为,求的分布列和数学期望. (2)已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下:将问题放入两个纸箱中,箱中有3道选择题和2道填空题,箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目,答题结束后将题目一起放入箱中,然后乙再抽取题目.已知乙从箱中抽取的第一题是选择题,求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率. 22.已知函数,其中为常数. (