第五章 三角函数(正文)-2024年普通高中学业水平测试合格考数学

第五章　三角函数 [学考题型分类]——告诉你学考考什么 一、角的推广及三角函数的定义 1.角度制与弧度制的互化 角度弧度角度 π＝180°，1°＝，1 弧度＝°≈57.30°＝57°18′. (2)圆心角弧度：|α|＝； 扇形面积公式：S＝l·R. 2.终边相同的角 设α表示任意角，所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合，这个集合可记为{β|β＝__________，k∈Z}.即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 3.单位圆定义三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. 4.终边上点的定义 设P(x，y)是角α的终边上任意一点(与原点O不重合)，记r＝|OP|＝，则sin α＝______，cos α＝______，tan α＝________. 5.三角函数在各象限的符号 6.同角三角函数的基本关系式 平方关系：sin2α＋cos2α＝______； 商数关系： tan α＝______. [学考考向]　主要考三角函数的定义及角的概念的推广. [方法指导] 已知角α的终边上一点P(x，y)求三角函数值时，先求r＝|OP|(O为原点)，再根据定义sin α＝，cos α＝，tan α＝确定三角函数值. 若条件中含有参数，要注意对参数进行分类讨论. 　已知角α的终边上一点(1，m)，且sin α＝，则m＝(　　) A.± B. C.－ D. 1.已知角α的终边与单位圆的交点为(y<0)，则sin αtan α＝______________. 二、同角三角函数基本关系式及诱导公式 　利用三角函数的定义，可以得到六组诱导公式： 公式一：sin(α＋k·2π)＝sin α，k∈Z，cos(α＋k·2π)＝cos α，k∈Z，tan(α＋k·2π)＝tan α，k∈Z； 公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝______，tan(π＋α)＝______； 公式三：sin(－α)＝______，cos(－α)＝______，tan(－α)＝______； 公式四：sin(π－α)＝______，cos(π－α)＝______，tan(π－α)＝______； 公式五： sin＝cos α，cos＝sin α； 公式六： sin＝cos α，cos＝－sin α. 诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”. [学考考向]　主要考同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用. [方法指导] 1.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. 2.同角三角函数基本关系的应用 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 　已知α是第二象限角， sin α＝，则cos α＝(　　) A.－ B.－ C. D. 2.若α∈，sin＝，则cos＝(　　) A.－ B. C.－ D. 三、三角函数的图象与性质及y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 (一)正弦、余弦函数的图象与性质 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] ______ 周期性 ______ 2π 奇偶性 奇函数 ______ 单调性 在________________(k∈Z)上递增； 在______________(k∈Z)上递减 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减 最值 x＝________(k∈Z)时，ymax＝1； x＝____________(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝______(k∈Z)时，ymax＝1； x＝______(k∈Z)时，ymin＝－1 对称性 对称中心：________ 对称轴：__________ 对称中心：______ 对称轴：_______ (二)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1.用“五点法”作图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表、计算得出五点的纵坐标，描点、连线后得出图象. 2.用“图象变换法”作图：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0)的图象，有两种主要途径：“先平移后