第四章 指数函数与对数函数(正文)-2024年普通高中学业水平测试合格考数学

第四章　指数函数与对数函数 [学考题型分类]——告诉你学考考什么 一、指数与对数运算 1.有理数指数幂的运算性质 aras＝______(a>0，r，s∈Q). s＝______(a>0，r，s∈Q). r＝______(a>0，b>0，r∈Q). 2.对数的基本性质 (1)负数和0______对数. (2)1的对数是0，即__________(a>0，且a≠1). (3)底数的对数是1，即________(a>0，且a≠1). 3.对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： loga＝________. loga＝________. logaMn＝________. 4.换底公式： logab＝________(a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1). 特别地：logab·logba＝________(a>0，a≠1，b>0，b≠1). [学考考向]　主要考指数与对数的综合运算. [方法指导] 关于指数、对数的运算 (1)指数、对数的运算过程中，公式比较多，准确、熟练地应用公式是关键.常用的有指数、对数的运算性质，对数恒等式、换底公式等. (2)注意总结常用的运算方法，如化同底等. 　计算：0＋3×－＋＝________. 1.若a＝log23，则2a＋2－a＝________. 二、指数、对数函数的图象与性质的应用 (一)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 ______ 值域 ______ 过定点 过定点______，即x＝______时，y＝______ 函数值的变化 当x>0时，______；当x≤0时，______ 当x≥0时，______；当x<0时，______ 单调性 是R上的______ 是R上的______ 奇偶性 非奇非偶函数 (二)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 ______ 值域 ______ 过定点 过定点______，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0<x<1时，______； 当x≥1时，______ 当0<x<1时，______； 当x≥1时，______ 单调性 在(0，＋∞)上是______ 在(0，＋∞)上是______ 对称性 函数y＝logax和函数y＝logx的图象关于______对称 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称. [学考考向]　主要考指数、对数函数图象与性质的应用. [方法指导] 1.关于指数、对数函数图象的判断与应用 (1)图象的判断 要熟悉常用图象的变换，如f(－x)，－f(x)，|f(x)|，f(|x|)的图象与原函数图象f(x)的变换.另外可以利用特殊值辅助判断排除. (2)图象的应用 在判断函数零点、方程的根的个数时，可以转化为初等函数图象的交点个数，即数形结合法解题. 2.关于指数、对数函数性质的应用 (1)此类题目往往涉及指数、对数函数的图象，以及定义域、值域、单调性等性质. (2)注意转化思想的应用，可以通过分离参数，转化为求值域问题. 　已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的(　　) 2.若a＝20.2，b＝log4，c＝log2，则(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 三、函数的零点与方程的根 1.函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，使________________叫做函数y＝f(x)的零点. 2.函数零点的意义 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有______⇔函数y＝f(x)的图象与______有公共点. 3.函数零点存在定理 一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有__________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)使________，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 4.函数零点的求法 (1)直接法(求方程f(x)＝0的解). (2)图象法(看图象交点的横坐标). 5.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. [学考考向]　主要考函数零点存在定理的应用. [方法指导] 关于函数的零点的两个关注点 (1)当已知函数在(a，b)上有零点求参数范围时，应先判断函数的单调性，如果函数在区间上不单调，就无法利用零点存在定理.