第七章 复数(正文)-2024年普通高中学业水平测试合格考数学

第七章　复数 [学考题型分类]——告诉你学考考什么 一、复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的 概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝ [学考考向]　主要考复数的基本概念. [方法指导] 处理复数概念问题的两个注意点 (1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部. (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. 　若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　) A.0 B.－1 C.1 D.－2 1.已知a为实数，若复数z＝(a2－a－20)＋(a＋4)i为纯虚数，则a的值为(　　) A.－4 B.5 C.2 D.10 二、复数的几何意义 [学考考向]　主要考复数与复平面内的点一一对应. [方法指导] 复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与相等的向量有无数个. 　在复平面内，复数i(2＋i)对应的点的坐标为(　　) A.(1,2) B.(2,1) C.(－1,2) D.(2，－1) 2.已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是 (　　) A.－5＋5i B.5－5i C.5＋5i D.－5－5i 三、复数的加、减、乘、除运算 1.复数加法与减法的运算法则 (1)加减法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d都是实数)是任意两个复数，则①z1＋z2＝____________； ②z1－z2＝____________. (2)加法运算律：对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝________； ②(z1＋z2)＋z3＝____________. 2.加减运算的几何意义 如图所示，设复数z1，z2对应向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量与复数z1＋z2对应，向量与复数z1－z2对应. 3.复数代数形式的乘法运算 (1)复数代数形式的乘法法则 已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. ①交换律：z1·z2＝z2·z1； ②结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； ③分配律：z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3. (2)复数代数形式的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0) [学考考向]　主要考复数的加、减、乘、除四则运算. [方法指导] 复数代数运算的策略 (1)复数运算是本章的重要内容，是高考考查的重点和热点，每年高考都有考查，一般以复数的乘法和除法运算为主. (2)解答复数运算问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则，用好复数相等的充要条件这一重要工具，将复数问题实数化求解. (3)复数运算中常用结论 ①i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，＝－i； ②(1±i)2＝±2i，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)； ③(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). 　化简＝(　　) A.－－i B.－＋i C.－－i D.－＋i 3.已知复数z满足：(z－i)(1＋2i)＝i3(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部等于(　　) A.－ B.－ C. D. [学考考题题型]——告诉你学考怎么考 1.设z＝i(2＋i)，则＝(　　) A.1＋2i B.－1＋2i C.1－2i D.－1－2i 2.若复数z＝4＋3i，则＝(　　) A.1 B.－1 C.＋i D.－i 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章　复数 [学考题型分类] 一、 [例1]　A　因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0，所以z2＋2的虚部为0. 跟踪训练 1.B