第六章 平面向量及其应用(正文)-2024年普通高中学业水平测试合格考数学

第六章　平面向量及其应用 [学考题型分类]——告诉你学考考什么 一、平面向量的加、减、数乘运算 (一)平面向量的实际背景与概念 1.向量：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的长度(或称模). 2.有向线段：具有方向的线段. 3.零向量：长度为0的向量. 4.单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 5.平行向量：方向相同或相反的非零向量.0与任意向量平行. 6.相等向量：长度相等且方向相同的向量. 7.共线向量：任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量. 8.相反向量：与向量a长度相等、方向相反的向量. (二)平面向量的加、减、数乘运算 1.向量加法的三角形法则和平行四边形法则 三角形 法则 已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行四边 形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，＝a，＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和 2.向量的加法运算律 (1)交换律：a＋b＝______. (2)结合律：(a＋b)＋c＝__________. 3.向量的减法运算 (1)定义：求两个向量差的运算，即减去一个向量相当于加上这个向量的________. (2)作法：已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量 ______＝a－b，如图所示. 4.向量的数乘 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa. 特别提醒：(1)|λa|＝|λ||a|. (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反. (3)λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb. (4)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 5.平面向量的加、减、数乘坐标运算 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， ①a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；②a－b＝(x1－x2，y1－y2)；③λa＝(λx1，λy1). [学考考向]　主要考平面向量的基本概念及加、减、数乘运算. [方法指导] 向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧. (2)字符表示线性运算的常用技巧 首尾相接用加法的三角形法则，如＋＝；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如－＝. (3)平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用. (4)注意常见结论的应用.如在△ABC中，点D是BC的中点，则＋＝2. 　如图所示，在平行四边形ABCD中，E为CD边的中点，且＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.a－b C.b＋a D.b－a 1.已知在△ABC中，点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________. 二、向量的数量积 1.向量的数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作______，即____________________. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.投影与投影向量 (1)投影 如图甲，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影. (2)投影向量 叫做向量a在向量b上的投影向量. (3)投影向量作法 如图乙，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量. 3.向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角. (1)垂直的条件：________________. (2)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. (3)模长公式：a·a＝|a|2或|a|＝＝. (4)夹角公式：cos θ＝________. (5)|a·b |≤|a||b|. [学考考向]　主要考利用数量积求模和夹角，证明平行与垂直. [方法指导] 1.求向量的模的依据和基本策略 (1)依据：a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化. (2)基本策略：求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方. 2.拓展公式 (1)(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2. (2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2. 3.求向量夹角的基本步骤 4.向量垂直问题的处理思路