第八章 立体几何初步(正文)-2024年普通高中学业水平测试合格考数学

第八章　立体几何初步 [学考题型分类]——告诉你学考考什么 一、立体图形的直观图，几何体的体积、表面积 (一)柱、锥、台、球的结构特征 1.棱柱：有两个面________(即底面平行且全等)，其余各面(即侧面)都是______，每相邻两个四边形的公共边都________，由这些面所围成的多面体. 2.棱锥：有一个面(即底面)是______，其余各面(即侧面)都是______________的三角形，由这些面所围成的多面体. 3.棱台：用一个____________的平面去截棱锥，底面与截面之间的那部分多面体. 4.圆柱：以__________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体. 5.圆锥：以直角三角形的__________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体. 特别提醒：旋转的直角边不同，得到的圆锥也可能不同. 6.圆台：用______________的平面去截圆锥，__________之间的部分. 7.球：以____________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. (二)空间几何体的表面积和体积 1.圆柱、圆锥、圆台、球的侧面积、表面积、体积公式 名称 侧面积 表面积 体积 圆柱 S侧＝______ S表＝______ V＝______ 圆锥 S侧＝______ S表＝______ V＝______ 圆台 S侧＝π(r＋r′)l S表＝π(r2＋r′2)＋π(r＋r′)l V＝π(r2＋rr′＋r′2)h 球 S球面＝_____ V＝______ 表中l，h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥的底面半径，r，r′分别表示圆台上、下底面半径，R表示球的半径. 2.长方体的对角线长：l＝(a，b，c分别是长方体的长、宽、高)；正方体的对角线长： l＝a(a为正方体的棱长). [学考考向]　主要考空间几何体的表面积和体积的求法. [方法指导] 1.立体图形的直观图 关键是掌握斜二测画法的法则，从平行关系、长度关系两个方面入手，通过画直观图或还原原图形后求值. 2.关于简单几何体的表面积、体积 (1)能利用柱、锥、台、球体表面积、体积公式计算的直接代入公式计算. (2)对于简单的组合体，一是分割求值；二是利用空间中线面关系作高求体积或表面积. 　我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足“幂势既同”.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为________. 1.已知一个多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该多面体的体积V＝(　　) A.1＋ B.1 C. D.1＋ 二、空间点、直线、平面之间的位置关系 1.平面的基本事实及推论 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 推论1　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面(图①). 推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②). 推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③). 2.空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 同一平面内，有且只有一个公共点 平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 3.线面、面面位置的判定与性质 平行 的判定 与性质 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号 表示 直线与平面平行的性质 平面与平面平行的性质 性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号 表示 续表 垂直 的判定 与性质 直线与平面垂直的判定 平面与平面垂直的判定 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直