黑龙江省哈尔滨工业大学附属中学校2023-2024学年高三上学期尖刀班数学周测（11月1日）

高三【尖刀班】数学周测 试题 2023年11月1日 <不含附加题，满分75分；含附加题，满分90分> 一、单选题（每小题5分，共25分） 1．已知集合，集合，则的真子集个数为（    ） A．3 B．7 C．8 D．15 2．已知复数满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角的面度数为，则角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（    ） A． B． C． D．3 5．已知函数，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 二、多选题（本题5分） 6．已知函数，则下面结论正确的是（    ） A．的对称轴为 B．的最小正周期为 C．的最大值为，最小值为 D．在上单调递减 三、填空题（每小题5分，共15分） 7．若，则 ． 8．三棱锥中，，三角形ABC是斜边的等腰直角三角形，则以下结论中: ①异面直线SB与AC所成的角为90°; ②直线SB平面; ③平面平面; ④点C到平面的距离是. 其中正确结论的序号是 . 9．等差数列的前项和分别是与，且，则 . 四、解答题（每题15分，共30分） 10．已知数列是递增的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，设数列的前项和为，求满足的的最小值. 11．如图，在三棱锥中，平面平面，，. （1）求证：； （2）若，是线段上的一点，若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 五、附加题（本题15分） 12．已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两个不同的点，记三角形QMN的面积为，求的最大值． 试卷第2页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三【尖刀班】数学周测2023年11月1日【讲解答案】 一、单选题（每小题5分，共25分） 1．已知集合，集合，则的真子集个数为（    ） A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】求出集合B，然后进行交集的运算得出，进而得出的真子集个数． 【详解】， 又，则， ∴的真子集个数为. 故选：B． 2．已知复数满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用复数的运算法则及模的求法进行计算即可. 【详解】因为， 所以， 则. 故选： 3．我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种度量角的制度，叫做面度制.在面度制下，若角的面度数为，则角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面度数的定义，结合扇形的面积公式可求得角的弧度数，继而可求得答案. 【详解】设角所在的扇形的半径为，面积为， 则由题意可得，解得， 所以， 故选：D 4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出，即可求出，再由两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为角的终边经过点，且， 所以且， 解得， 所以，则. 故选：C 5．已知函数，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同角三角函数关系式整理函数解析式，换元，根据辅助角公式，整理可得二次函数，可得答案. 【详解】， 令， 即， 由，则. 故选：A. 二、多选题（本题5分） 6．已知函数，则下面结论正确的是（    ） A．的对称轴为 B．的最小正周期为 C．的最大值为，最小值为 D．在上单调递减 【答案】ABC 【分析】化简函数的解析式，作出函数的图象，逐项判断可得出合适的选项. 【详解】因为， 当时，即当时， ，即， 此时，； 当时，即当时， ，即， 此时，. 所以，. 作出函数的图象如下图中实线所示：    对于A选项，由图可知，函数的图象关于直线、、对称， 对任意的， ， 所以，函数的对称轴为，A对； 对于B选项，对任意的， ， 结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，B对； 对于C选项，由A选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为， 要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，， 因