第一部分 专题八 立体几何初步-【高考解码】2024年湖南省高中学业水平考试（合格考）数学

专题八 立体几何初步 一、选择题 1.下面图形中,为棱锥的是 ( ) A.①③ B.③④ C.①②④ D.①② 2.经过同一条直线上的3个点的平面 ( ) A.有且只有一个 B.有且只有3个 C.有无数个 D.不存在 3.如图,△A'B'C'是△ABC的直观图,其中A'B'=A'C',那么△ABC是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 4.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是 ( ) A.该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体 B.该几何体有12条棱、6个顶点 C.该几何体有8个面,并且各面均为三角形 D.该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余各面均为三角形 5.若棱长为2 3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( ) A.12π B.24π C.36π D.144π 6.若直线a,b与直线l相交成等角,则直线a,b的位置关系是 ( ) A.异面 B.平行 C.相交 D.异面、平行、相交都有可能 7.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为底面ABCD 和底面A'B'C'D'的中心, 则正方体的六个面中与EF平行的平面有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.平面α⊥平面β,α∩β=l,m⊂α,m⊥l,则 ( ) A.m∥β B.m⊂β C.m⊥β D.m 与β相交但不一定垂直 9.空间四边形的对角线互相垂直且相等,顺次连接这个四边形的各边中点,所成的四边形是 ( ) A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形 10.下列说法中正确的是 ( ) A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行 B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行 C.如果一个平面内的任何直线都与另一个平面平行,那么这两个平面平行 D.如果两个平面平行于同一直线,则这两个平面平行 11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-BC-D 的平面角的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° ·51· {#{QQABRYgAggiAAAAAAQgCQw2yCACQkAGCCAoGRFAEIAABQBFABAA=}#} 12.在正三棱锥P-ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为a,则点P 到平面ABC 的距离为 ( ) A.a B.22a C. 3 3a D.3a 二、填空题 13.若圆锥的底面半径为3,母线长为5,则圆锥的体积是 . 14.已知下列说法: ①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b; ②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交; ③若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交. 其中正确的是 .(填序号) 15.已知正方体ABCD-EFGH,则AH 与FG 所成的角是 . 16.平行四边形ABCD 的对角线交点为O,点P 在平行四边形ABCD 所在平面外,且PA=PC,PD=PB, 则PO与平面ABCD 的位置关系是 . 三、解答题 17.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,P 分别是棱AB,A1B1的中点, 求证:(1)AC1∥平面B1CD; (2)平面APC1∥平面B1CD. 18.如图,已知三棱锥 P-ABC,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,且△PDB 是正三角形, PA⊥PC. 求证:(1)PA⊥平面PBC; (2)平面PAC⊥平面ABC. ·61· {#{QQABRYgAggiAAAAAAQgCQw2yCACQkAGCCAoGRFAEIAABQBFABAA=}#} 15.解析:∵B=60°,C=75°,∴A=45°, ∵ asinA= b sinB , ∴8 2 2 =b 3 2 ,∴b=4 6. 答案:4 6 16.解析:依题意可得AD=20 10,AC=30 5, 又CD=50,所以在△ACD 中, 由余弦定理的推论得cos∠CAD=AC 2+AD2-CD2 2AC·CD = (30 5)2+(20 10)2-502 2×30 5×20 10 = 6000 6000 2 = 22 , 又0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°, 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 答案:45° 17.解:(1)由正弦定理 bsinB= c sinC , 得sinB=bsinCc = 1 2 , 因为在△ABC中,b<c且C=120°,所以B=30°. (2)因为A+B+C=180°, 所以A=180°-120°-30°=30°, 所以S=12bcsinA= 3 4. 18.解:(1)因为C=45°,b=4 5,sinB=2 55 , 所以由正弦定理可得c=bsinCs