第一部分 专题四 指数函数与对数函数-【高考解码】2024年湖南省高中学业水平考试（合格考）数学

专题四 指数函数与对数函数 一、选择题 1.若代数式 x-2+(x-5)0有意义,则x的取值范围是 ( ) A.[2,+∞) B.(-∞,5)∪(5,+∞) C.[2,5)∪(5,+∞) D.(2,5)∪(5,+∞) 2.若log4(3a+4b)=log2 ab,则 4 a+ 3 b 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3+1 D.3-1 3.设a>0,将 a 2 a· 3 a2 表示成分数指数幂,其结果是 ( ) A.a 1 2 B.a 5 6 C.a 7 6 D.a 3 2 4.已知对不同的a值,函数f(x)=2+ax-1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点P,则点P 的坐标是 ( ) A.(0,3) B.(0,2) C.(1,3) D.(1,2) 5.下列各函数中,是指数函数的是 ( ) A.y=x3 B.y=(-4)x C.y=5x+1 D.y=52x 6.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是 ( ) A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2] 7.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若 要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x 的关系,可选用 ( ) A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 8.某产品计划每年降低成本q%,若3年后的成本费为a元,则现在的成本费为 ( ) A. a(1-q%)3 元 B.a(1-q%)3元 C. a(1+q%)3 元 D.a(1+q%)3元 9.设 12 a < 12 b <1,则 ( ) A.a<b<1 B.1<a<b C.a>b>0 D.a<b<0 10.函数y=loga(x-1)(0<a<1)的图像大致是 ( ) 11.若f(x)= 2x,x≤0, log3x,x>0, 则f f 127 为 ( ) A.-18 B. 1 8 C.8 D.-8 12.若loga 4 5<1 (a>0,且a≠1),则实数a的取值范围为 ( ) A.45 ,1 B.45,+∞ C.0,45 ∪(1,+∞) D.0,45 ∪ 45,+∞ ·7· {#{QQABTYAEogCIABIAAQgCQw3SCgCQkBECACoGxFAEMAABgBNABAA=}#} 二、填空题 13.已知5a=0.3,0.7b=0.8,则ab与0的大小关系是 . 14.函数f(x)= log12x 的单调增区间为 . 15.以下是三个变量y1,y2,y3随变量x变化的函数值表: x 1 2 3 4 5 6 7 8 … y1 2 4 8 16 32 64 128 256 … y2 1 4 9 16 25 36 49 64 … y3 0 1 1.585 2 2.322 2.585 2.807 3 … 其中,关于x呈指数函数变化的函数是 . 16.方程lgx+x-1=0有 个实数根. 三、解答题 17.已知f(x)=x+kx (k>0). (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)当k=4时,判断并证明函数f(x)在(0,2]上的单调性,并求其值域. 18.已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=ax+bx2+1 是增函数,且f 12 =25. (1)求函数f(x)的解析式; (2)解不等式f(t-1)+f(2t)<0. ·8· {#{QQABTYAEogCIABIAAQgCQw3SCgCQkBECACoGxFAEMAABgBNABAA=}#} 13.解析:因为f(2x+1)=32 (2x+1)+12 ,所以f(a)= 3 2a+ 1 2. 又f(a)=4,所以32a+ 1 2=4 ,则a=73. 答案:7 3 14.解析:f(x)=2x-m4 2 +3-m 2 8 ,由题意m 4=2 , ∴m=8. ∴f(1)=2×12-8×1+3=-3. 答案:-3 15.解析:由题意知,m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解 得m=1或m=2.经检验m=1或m=2均符合题意,即 m=1或2. 答案:1或2 16.解析:因为f(|-x|)=f(|x|),所以①为偶函数;因为 f(-x)=-f(x),令g(x)=-f(x),则g(-x)=-f(-x) =f(x)=-g(x),所以②为奇函数;令F(x)=xf(x),则 F(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=F(x),故③是偶函 数;令h(x)=f(x)+x,则h(-x)=f(-x)-x=-f(x)- x=-h(x),故④是奇函数. 答案:②④ 17.解:f(x)=ax-1x+1=a- a+1 x+1. 设x1<x2<-1, 则f(x1)-f(x2)= a-