第一部分 专题六 平面向量及复数-【高考解码】2024年湖南省高中学业水平考试（合格考）数学

专题六 平面向量及复数 一、选择题 1.设e1,e2是两个单位向量,则下列结论中正确的是 ( ) A.e1=e2 B.e1∥e2 C.|e1|=|e2| D.以上都不对 2.已知▱ABCD 中,∠DAB=60°,则AD → 与CD → 的夹角为 ( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 3.实部为5,模与复数4-3i的模相等的复数有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.在▱ABCD 中,O是对角线的交点.下列结论正确的是 ( ) A.AB → =CD →,BC → =AD → B.AD → +OD → =DA → C.AO → +OD → =AC → +CD → D.AB → +BC → +CD → =DA → 5.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知向量a=(2,4),a+b=(3,2),则b= ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0) 7.在边长为1的正三角形ABC中,|AB → -BC → |的值为 ( ) A.1 B.2 C.32 D.3 8.四边形OABC中,CB → =12OA →,若OA → =a,OC → =b,则AB → = ( ) A.a-12b B. 1 2a-b C.b+12a D.b- 1 2a 9.已知|a|=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°,那么向量a-4b的模为 ( ) A.2 B.2 3 C.6 D.12 10.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b的坐标为 ( ) A.(-2,-4) B.(-3,-6) C.(-4,-8) D.(-5,-10) 11.若a为实数,且2+ai1+i=3+i ,则a= ( ) A.-4 B.-3 C.3 D.4 12.在四边形ABCD 中,若AB → +CD → =0,AC →·BD → =0,则四边形为 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 ·11· {#{QQABRYCEgggoABBAAAgCQw2SCgOQkAECCCoGhEAAIAABAANABAA=}#} 二、填空题 13.化简:(AD → -BM →)+(BC → -MC →)= . 14.复数 2i -1+ 3i 的虚部是 . 15.已知|a|=1,|b|= 2,且a+b与a垂直,则a与b的夹角是 . 16.已知向量a=(-2,1),b= λ,12 ,且|λa+b|= 132 ,则λ= . 三、解答题 17.如图所示,平行四边形ABCD 中,M 为DC 的中点,N 是BC 的中点,设AB → =b, AD → =d,AM → =m,AN → =n. (1)试以b,d为基底表示MN →; (2)试以m,n为基底表示AB → . 18.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=2 5,且c与a方向相反,求c的坐标; (2)若|b|= 52 ,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ. ·21· {#{QQABRYCEgggoABBAAAgCQw2SCgOQkAECCCoGhEAAIAABAANABAA=}#} 12.C 由辅助角公式,函数y=4sinx+3cosx=5 sinx· 4 5+cosx ·3 5 =5sin(x+φ),其中cosφ=45,sinφ= 3 5 ,且φ角的终边过点(4,3),所以函数y=4sinx+3cosx 的最大值是5. 13.解析:cosα+7π12 =cos π2+ α+π12 =-sin α+ π 12 =-13. 答案:-13 14.解析:因 为 π2<α<π ,所 以tanα=- 1-cos2α1+cos2α= - 33. 答案:- 33 15.解析:将函数y=sinx的图像向左平移φ个单位长度后,得 y=sin(x+φ)的图像,而y=sinx- π 6 =sin x+11π6 , 所以φ= 11π 6. 答案:11π 6 16.解析:sin2x=cos π2-2x =cos2 π4-x =1-2sin2 π4-x =725. 答案:7 25 17.解:因为π4<α< π 2 ,0<β< π 4 ,所以π 4<2α-β<π. 因为cos(2α-β)=- 2 2 ,所以2α-β= 3π 4. 因为π 4<α< π 2 ,0<β< π 4 , 所以-π4<α-2β< π 2. 因为sin(α-2β)= 2 2 ,所以α-2β= π 4. 所以cos(α+β)=cos[(2α-β)-(α-2β)] =cos3π4- π 4 =co