第1部分 第4单元 第3节 等腰三角形和直角三角形-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

　第四单元　 三角形 第三节　 等腰三角形和直角三角形 一阶　 教材知识全梳理 知识点 １ 等腰三角形的性质与判定(２０２３. ７、１１ꎬ贵阳 ５ 年 ４ 考) 定义 有两边相等的三角形是等腰三角形 性质 (１)两腰①　 　 　 　 ꎬ如图ꎬＡＢ ＝ ＡＣꎻ (２)两个底角②　 　 　 　 (简记为“等边对等角”)ꎬ如图ꎬ∠Ｂ ＝∠Ｃꎻ (３)顶角平分线、底边上的中线、底边上的③　 　 　 　 相互重合(简记为 “三线合一”)ꎻ (４)是轴对称图形ꎬ有 １ 条对称轴ꎬ对称轴是底边上的高所在的直线 判定 (１)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义)ꎻ (２)有两个角相等的三角形是等腰三角形(简记为“等角对等边”) 面积公式 Ｓ ＝ １２ ａｈ(其中 ａ 为底边长ꎬｈ 为底边上的高) 【特别提醒】１. 等腰三角形中的分类讨论:(１)当顶角和底角不确定时ꎬ需要分类讨论ꎬ且需要用三角 形内角和定理检验ꎻ(２)当腰长和底边长不确定时ꎬ需要分类讨论ꎬ且需要用三角形三边关系检验. ２. 等腰三角形的“三线合一”是一条重要性质ꎬ在证明和计算中ꎬ往往作为辅助线ꎬ需灵活添加. 知识点 ２ 等边三角形的性质与判定(２０２３. ２３ꎬ贵阳 ５ 年 ７ 考) 性质 (１)三条边④　 　 　 　 ꎬ如图ꎬＡＢ ＝ ＡＣ ＝ ＢＣꎻ (２)三个内角⑤　 　 　 　 ꎬ并且每个内角都等于⑥　 　 　 　 ꎬ如图ꎬ∠Ａ ＝ ∠Ｂ ＝∠Ｃ ＝ ６０°ꎻ (３)是⑦　 　 　 　 对称图形ꎬ有⑧　 　 　 　 条对称轴ꎬ对称轴是三边上的高 所在的直线 判定 (１)三条边都相等的三角形是等边三角形(定义)ꎻ (２)三个角都相等的三角形是等边三角形ꎻ (３)有一个角是⑨　 　 　 　 的等腰三角形是等边三角形 面积公式 Ｓ ＝ １２ ａｈ ＝ ３ ４ ａ ２(其中 ａ 为三角形的边长ꎬｈ 为任意一边上的高) ３６ {#{QQABTYCEggigAhAAAQhCQw3yCACQkBCCCCoGhEAIMAABwRNABAA=}#} 　众相原创　 赋能中考　 贵州数学 知识点 ３ 直角三角形的性质与判定(２０２３. ７、２０(２)ꎬ贵阳 ５ 年 ２２ 考) 性质 (１)两锐角之和等于⑩　 　 　 　 ꎬ如图ꎬ∠Ａ ＋∠Ｂ ＝􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 ꎻ (２)斜边上的中线等于斜边的􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 ꎬ如图ꎬ若 ＣＤ 是斜边上的中线ꎬ则 ＣＤ ＝􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 ＡＢꎻ (３)３０°角所对的直角边等于斜边的􀃊􀁉􀁖　 　 　 　 ꎬ如图ꎬ若∠Ａ ＝ ３０°ꎬ则 ＢＣ ＝ 􀃊􀁉􀁗　 　 　 　 ＡＢꎻ (４)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为 ａꎬｂꎬ斜边长为 ｃꎬ那么􀃊􀁉􀁘　 　 　 　 　 　 . 【知识拓展】在直角三角形中ꎬ若一条直角边等于斜边的一半ꎬ则这条直角边所对的角等于 ３０°(选填题可直接用结论ꎬ解答题应用时需先证明) 判定 (１)有一个角等于􀃊􀁉􀁙　 　 　 　 的三角形是直角三角形(定义)ꎻ (２)有两个角􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 的三角形是直角三角形ꎻ (３)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长分别为 ａꎬｂꎬｃꎬ且满足 ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２ꎬ那么这个三 角形是直角三角形. 【知识拓展】某边上的中线等于该边的一半的三角形是直角三角形 面积公式 Ｓ ＝ １２ ａｂ ＝ １ ２ ｃｈ(其中 ａꎬｂ 为两直角边长ꎬｃ 为斜边长ꎬｈ 为斜边上的高) . 【特别提醒】通常用等面积法求直角三角形的边长或高 【特别提醒】(１)已知直角三角形的两边长ꎬ求第三边长ꎬ若没有明确直角边和斜边时ꎬ要分类讨 论ꎻ(２)已知三角形为直角三角形ꎬ当未明确直角顶点时ꎬ需分类讨论. 知识点 ４ 等腰直角三角形的性质与判定(２０２３. ２５ꎬ贵阳 ５ 年 ５ 考) 性质 (１)两条直角边􀃊􀁉􀁛　 　 　 　 ꎬ如图ꎬＡＣ ＝ ＢＣꎻ (２)两个底角􀃊􀁊􀁒　 　 　 　 ꎬ且等于􀃊􀁊􀁓　 　 　 　 ꎬ如图ꎬ∠Ａ ＝∠Ｂ ＝ ４５° 判定 (１)有一个角等于􀃊􀁊􀁔　 　 　 　 的等腰三角形是等腰直角三角形ꎻ (２)底角等于􀃊􀁊􀁕　 　 　 　 的等腰三角形是等腰直角三角形ꎻ (３)有两个角等于􀃊􀁊􀁖　 　 　 　 的三角形是等腰直角三角形ꎻ (４)有一个角等于􀃊􀁊􀁗　 　 　 　 的直角三角形是等腰直角三角形 面积公式 Ｓ ＝ １２ ａ ２ ＝ １２ ｃｈ ＝ ２ ２ ａｈ(其中 ａ 为腰长ꎬｃ 为底边长ꎬｈ 为底边上的高) ４６ {#{QQABTYCEggigAhAAAQhCQw3yCACQkBCCCCoGhEAIMAABwRNABAA=}#} 　第四单元　 三角形 【思维拓展】与中点有