第1部分 第3单元 第5节 二次函数的综合与应用-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

　众相原创　 赋能中考　 贵州数学 第五节　 二次函数的综合与应用 知识点 １ 二次函数的实际应用(２０２３. ２４ꎬ贵阳 ５ 年 ３ 考) 类型一　 利润最值问题 １. 因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好ꎬ 深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一. 深圳著名旅游 “网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶ꎬ每杯成 本为 ５ 元ꎬ根据销售经验ꎬ在旅游旺季ꎬ若每杯定价 ２５ 元ꎬ则平 均每天可销售 ３００ 杯ꎻ若每杯价格降低 １ 元ꎬ则平均每天可多销 售 ３０ 杯. 店家计划在节假日期间进行降价促销活动ꎬ设每杯奶 茶定价为 ｘ 元时ꎬ每天可销售 ｙ 杯. (１)求 ｙ 与 ｘ 之间的函数关系式ꎻ (２)当 ｘ 为多少时ꎬ能让店家每天获得最大利润? 最大利润为 多少? 【解题思路】 １. 审题ꎬ找出题目中的数量 关系ꎻ ２. 根据数量关系确定二次函 数解析式 和 自 变 量 的 取 值 范围ꎻ ３. 利用二次函数的性质(增 减性或最值公式)ꎬ结合自变 量的取值范围求出最值. 【常用等量关系】 １. 每每问题中ꎬ单价每涨 ａ 元ꎬ少卖 ｂ 件ꎬ则若涨价 ｘ 元ꎬ 少卖的数量为 ｘ ａ􀅰ｂ 件ꎻ ２. 常用公式: (１)每件利润 ＝ 每件售价 － 每件成本ꎻ (２)总利润 ＝ 每件利润 × 销 售量. ０５ {#{QQABTYCAogCAABIAAQgCQw3SCACQkAGCCCoGRFAEMAABQANABAA=}#} 　第三单元　 函　 数 类型二　 抛物线型问题 ２. 源于北师九下 Ｐ４８ 第 ４ 题 如图ꎬ是一个抛物线形拱桥的截面 图ꎬ在正常水位时ꎬ水位线 ＡＢ 与拱桥最高点的距离为 ９ ｍꎬ水面 宽 ＡＢ ＝ ３０ ｍ. (１)请你建立合适的平面直角坐标系 ｘＯｙꎬ并根据建立的平面直 角坐标系求出该抛物线对应的函数解析式ꎻ (２)已知一艘船(可近似看成长方体)在此航行时露出水面的高 度为 ４ ｍꎬ若这艘船的宽度为 １８ ｍꎬ当水位线比正常水位线高出 １ ｍ 时ꎬ这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过? 请说明 理由. 【解题思路】 １. 建坐标系:观察、分析图象ꎬ 根据题意建立合适的平面直 角坐标系ꎬ将题目中的条件转 化为点的坐标ꎻ ２. 找点设式:找出抛物线的顶 点和另一点或与 ｘ 轴的两个 交点和另一点ꎬ设出二次函数 解析式ꎻ ３. 代值求式:将已知点的坐标 代入所设解析式ꎬ运用待定系 数法求出二次函数解析式ꎻ ４. 计算检验:利用二次函数的 性质进行相关计算ꎬ并检验结 果是否符合实际要求. 类型三　 面积问题 ３. 小亮家院子呈矩形状ꎬ其南北长 ５０ 米ꎬ东西宽 ２０ 米. 家里要在 院外的空地上用 ８０ ｍ 的栅栏围建一个矩形羊圈 ＡＢＣＤꎬ父亲让 小亮帮忙设计. 为了使羊圈面积最大ꎬ在设计中小亮借助了院子 的外墙. 为了方便叙述ꎬ规定矩形羊圈 ＡＢＣＤ 的 ＡＤ 边与使用的 外墙在同一直线上. (１)如图ꎬ小亮把羊圈设计在院子东墙外ꎬ请问他是如何设计该 矩形的长和宽的? (２)父亲说东墙外明年还有别的用处ꎬ让小亮把羊圈设计在院子 北墙外ꎬ请问又如何设计该矩形的长和宽? 【解题思路】 １. 用含有自变量的代数式表 示相关线段的长度ꎻ ２. 根据面积公式ꎬ求出图形面 积与自变量之间的关系式ꎬ并 确定自变量的取值范围ꎻ ３. 根据二次函数的性质ꎬ结合 自变量的取值范围解决问题. １５ {#{QQABTYCAogCAABIAAQgCQw3SCACQkAGCCCoGRFAEMAABQANABAA=}#} 　众相原创　 赋能中考　 贵州数学 知识点 ２ 二次函数综合题(２０２３. ２４(２)ꎬ贵阳 ２０１９. ２４(２)) ４. (２０１９ 贵阳改编)如图ꎬ二次函数 ｙ ＝ ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ 的图象与 ｘ 轴交 于 ＡꎬＢ 两点ꎬ与 ｙ 轴交于点 Ｃꎬ且关于直线 ｘ ＝ １ 对称ꎬ点 Ａ 的坐 标为( － １ꎬ０) . 【铺垫设问】 (１)点 Ｂ 的坐标为　 　 　 　 . 【解决问题】 (２)求二次函数的表达式ꎻ (３)连接 ＢＣꎬ若点 Ｐ 在 ｙ 轴上ꎬＢＰ 和 ＢＣ 的夹角为 １５°ꎬ求线段 ＣＰ 的长ꎻ (４)当 ａ≤ｘ≤ａ ＋ １ 时ꎬ二次函数 ｙ ＝ ｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ 的最小值为 ２ａꎬ 求 ａ 的值. 【拓展探究】 (５)若 Ｅ 为第四象限内抛物线上一点ꎬ△ＥＢＣ 的面积是否存在 最大值? 若存在ꎬ求出△ＥＢＣ 的最大面积及此时点 Ｅ 的坐标ꎻ若 不存在ꎬ请说明理由ꎻ (６)在抛物线上是否存在点 Ｑꎬ使以 ＢꎬＱꎬＣ 为顶点的三角形是 直角三角形(Ｑ 不是直角顶点)? 若存在ꎬ请求出所有符合条件 的点 Ｑ 的坐标ꎻ若不存在ꎬ请说明理由. 　 【思想方法】 二次函数综合题