第1部分 第3单元 第4节 二次函数的图象与性质-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

　第三单元　 函　 数 第四节　 二次函数的图象与性质 一阶　 教材知识全梳理 知识点 １ 二次函数的图象与性质(２０２３. ２４(２)(３)ꎬ贵阳 ５ 年 ４ 考) １. 概念 一般地ꎬ形如 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａꎬｂꎬｃ 是常数ꎬａ≠０)的函数ꎬ叫做二次函数. 其中ꎬｘ 是自变量ꎬａꎬｂꎬｃ 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. ２. 图象与性质(二次函数的图象为抛物线) 解析式 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａ≠０) ａ 的符号 ａ > ０ ａ < ０ 大致图象 开口方向 开口向①　 　 　 　 开口向②　 　 　 　 对称轴 直线 ｘ ＝③　 　 　 　 顶点坐标 (④　 　 　 　 ꎬ⑤　 　 　 　 　 ) 增减性 在对称轴左侧ꎬｙ 随 ｘ 的增大而⑥　 　 　 　 ꎻ 在对称轴右侧ꎬｙ 随 ｘ 的增大而⑦　 　 　 　 在对称轴左侧ꎬｙ 随 ｘ 的增大而⑧　 　 　 　 ꎻ 在对称轴右侧ꎬｙ 随 ｘ 的增大而⑨　 　 　 　 最值 有最⑩　 　 　 　 值 有最􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 值 当 ｘ ＝􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 时ꎬｙ 取得最值ꎬ最值为􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 　 　 ３. 比较抛物线上两点纵坐标大小的方法 方法 适用情况 解题步骤 代值 比较法 抛物线解析式、点 的横坐标均已知 直接将点的横坐标代入抛物线的解析式ꎬ求出对应的纵坐标ꎬ进行比 较即可 图象 比较法 抛物线解析式或点 的横坐标中存在 参数 综合利用抛物线的开口方向、增减性及点与抛物线对称轴的水平距离 进行比较: (１)若两点在对称轴的同侧ꎬ则根据抛物线的开口方向和 ｙ 随 ｘ 的变 化趋势进行判断ꎻ (２)若两点在对称轴的异侧ꎬ则根据抛物线的开口方向和两点与对称 轴的水平距离进行判断: ①当 ａ > ０ 时ꎬ点与对称轴的水平距离越小ꎬ纵坐标越􀃊􀁉􀁖　 　 　 　 ꎻ ②当 ａ < ０ 时ꎬ点与对称轴的水平距离越小ꎬ纵坐标越􀃊􀁉􀁗　 　 　 　 【特别提醒】当 ａ 的符号不确定时ꎬ需要进行分类讨论 ３４ {#{QQABRYCEggigAAJAAAhCQwmiCACQkAECAKoGBEAIIAABgANABAA=}#} 　众相原创　 赋能中考　 贵州数学 知识点 ２ 二次函数图象与系数的关系(２０２３. １０) 开口方向 和 ａ 开口向上⇔ａ 􀃊􀁉􀁘　 　 　 　 ꎻ开口向下⇔ａ 􀃊􀁉􀁙　 　 　 　 . ｜ ａ ｜越大ꎬ开口越小 对称轴和 ａꎬｂ 对称轴在 ｙ 轴左侧⇔ － ｂ２ａ < ０(即 ａꎬｂ 同号)ꎻ 对称轴是 ｙ 轴⇔ － ｂ２ａ ＝ ０(即 ｂ 􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 )ꎻ 对称轴在 ｙ 轴右侧⇔􀃊􀁉􀁛　 　 　 　 (即 ａꎬｂ 􀃊􀁊􀁒　 　 　 　 ) 与 ｙ 轴的 交点和 ｃ 与 ｙ 轴正半轴相交⇔ｃ > ０ꎻ 过原点⇔􀃊􀁊􀁓　 　 　 　 ꎻ 与 ｙ 轴负半轴相交⇔􀃊􀁊􀁔　 　 　 　 与 ｘ 轴的 交点个数 和 ｂ２ － ４ａｃ 与 ｘ 轴有两个交点⇔ｂ２ － ４ａｃ > ０ꎻ 与 ｘ 轴有一个交点⇔ｂ２ － ４ａｃ ＝ ０ꎻ 与 ｘ 轴无交点⇔􀃊􀁊􀁕　 　 　 　 　 　 其他特殊 关系 先把含 ａꎬｂꎬｃ 的项移到等式(或不等式)的一边 看到 ２ａ ＋ ｂꎬ比较 － ｂ２ａ和 １ 的大小 看到 ２ａ － ｂꎬ比较 － ｂ ２ａ和􀃊􀁊􀁖　 　 　 　 的大小 看到 ａ ＋ ｂ ＋ ｃꎬ找当 ｘ ＝ １ 时 ｙ 的值 看到 ａ － ｂ ＋ ｃꎬ找当 ｘ ＝􀃊􀁊􀁗　 　 　 　 时 ｙ 的值 看到 ４ａ ＋ ２ｂ ＋ ｃꎬ找当 ｘ ＝ ２ 时 ｙ 的值 看到 ４ａ － ２ｂ ＋ ｃꎬ找当 ｘ ＝ 􀃊􀁊􀁘　 　 　 　 时 ｙ 的值 知识点 ３ 二次函数解析式的确定(２０２３. ２４(１)ꎬ贵阳 ５ 年 ４ 考) １. 基本方法:待定系数法ꎻ ２. 步骤:设解析式→代入已知点坐标得方程(组)→解方程(组)→得解析式ꎻ ３. 根据已知条件ꎬ设合适形式的解析式 已知条件 应设解析式 任意三个点的坐标 一般式:ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ(ａ≠０) 顶点坐标(ｈꎬｋ) ＋其他点坐标 顶点式:ｙ ＝ ａ 􀃊􀁊􀁙　 　 　 　 ＋ ｋ(ａ≠０) 与 ｘ 轴的两个交点的坐标(ｘ１ꎬ０)ꎬ(ｘ２ꎬ０) ＋其他点坐标 交点式:ｙ ＝ ａ 􀃊􀁊􀁚　 　 　 　 　 　 (ａ≠０) 【特别提醒】(１)当抛物线与 ｘ 轴的两个交点的坐标为(ｘ１ꎬ０)ꎬ(ｘ２ꎬ０)时ꎬ抛物线的对称轴为直线 ｘ ＝ ｘ１ ＋ ｘ２ ２ ꎻ(２)当已知抛物线与 ｘ 轴的一个交点坐标 ＋ 对称轴时ꎬ可求出抛物线与 ｘ 轴的另一个 交