第1部分 第2单元 第3节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

　第二单元　 方程(组)与不等式(组) 第三节　 一元二次方程及其应用 一阶　 教材知识全梳理 知识点 １ 一元二次方程的概念 １. 一元二次方程必须同时满足三个条件:(１)是整式方程ꎻ(２)只含有 １ 个未知数ꎻ(３)未知数的最 高次数是 ２. ２. 一元二次方程的一般形式:ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ ①　 　 　 　 ) . 其中②　 　 　 　 是二次项ꎬ③　 　 　 　 是二次项系数ꎻ④　 　 　 　 是一次项ꎬ⑤　 　 　 　 是一次项系数ꎻ⑥　 　 　 　 是常数项. 【特别提醒】若题目中有“一元二次方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０”ꎬ则必然隐含着ａ≠０􀪍􀪍 这一条件. 知识点 ２ 一元二次方程的解法(贵阳 ２０２２. １７(２)) １. 基本思路:降次ꎬ即将二次方程化为一次方程. ２. 解法 解法 适用形式 方程的解 直接开平方法 (１)ｘ２ ＝ ｐ(ｐ≥０) ｘ ＝ ± ｐ (２)(ｘ ＋ ｎ) ２ ＝ ｐ(ｐ≥０) ｘ ＝⑦　 　 　 　 配方法 二次项系数化为 １ 后ꎬ一次项系数为偶数ꎬ形如:ｘ２ ＋ ２ｍｘ ＝ ｎꎬ配方后为(ｘ ＋ ｍ) ２ ＝ ｎ ＋ ｍ２(ｎ ＋ ｍ２≥０) ｘ ＝⑧　 　 　 　 　 　 公式法 所有一元二次方程:ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ ( ａ≠０ꎬ ｂ２ － ４ａｃ ⑨　 　 　 　 ０) . 【特别提醒】(１)要先将一元二次方程化为一般形式ꎻ (２)确定 ａꎬｂꎬｃ 的值时要带符号ꎻ(３)需先判断ｂ２ － ４ａｃ 的值与 ０ 的大小关系:若ｂ２ － ４ａｃ⑩　 　 　 　 ０ꎬ 则套用公式求解ꎻ若 ｂ２ － ４ａｃ 􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 ０ꎬ则方程 无解 ｘ ＝􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 　 　 　 　 因式分解法 将等号右边的项全部移到左 边后ꎬ右边为 ０ꎬ左边易于分 解成两个一次因式的乘积 (１)(ｘ － ａ)(ｘ － ｂ) ＝ ０ ｘ１ ＝ ａꎬｘ２ ＝ ｂ (２)ｘ(ａｘ ＋ ｂ) ＝ ０ ｘ１ ＝􀃊􀁉􀁕　 　 　 ꎬｘ２ ＝􀃊􀁉􀁖　 　 　 【特别提醒】因式分解法解一元二次方程时ꎬ要先将右边的式子移至左边ꎬ再进行因式分解. 不能􀪍􀪍 在等号两边同时约去含有未知数的公因式􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍ꎬ避免丢根. 如: 举例 错误解法 正确解法 解方程: (２ｘ ＋ １)(ｘ － １) ＝ ２(ｘ － １) 方程两边同时约去公因式 (ｘ － １)ꎬ得 ２ｘ ＋ １ ＝ ２ꎬ 解得 ｘ ＝ １２ 移项ꎬ得(２ｘ ＋ １)(ｘ － １) － ２(ｘ － １) ＝ ０ꎬ 因式分解ꎬ得(２ｘ － １)(ｘ － １) ＝ ０ꎬ 于是得 ２ｘ － １ ＝ ０ 或 ｘ － １ ＝ ０ꎬ 解得 ｘ１ ＝ １ ２ ꎬｘ２ ＝ １ １２ {#{QQABRYCEogCAAhAAAQhCQwnSCgOQkACCCIoGgEAEIAABARNABAA=}#} 　众相原创　 赋能中考　 贵州数学 知识点 ３ 一元二次方程根的判别式(２０２３. １５) １. 概念:一般地ꎬ式子􀃊􀁉􀁗　 　 　 　 叫做一元二次方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ≠０)根的判别式ꎬ通常用希腊 字母“Δ”表示它ꎬ即 Δ ＝􀃊􀁉􀁘　 　 　 　 . ２. 根的情况与判别式的关系 (１)ｂ２ － ４ａｃ > ０⇔一元二次方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ≠０)有两个􀃊􀁉􀁙　 　 　 　 的实数根ꎻ (２)ｂ２ － ４ａｃ ＝ ０⇔一元二次方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ≠０)有两个􀃊􀁉􀁚　 　 　 　 的实数根ꎻ (３)ｂ２ － ４ａｃ < ０⇔一元二次方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ≠０)􀃊􀁉􀁛　 　 　 　 实数根. 【特别提醒】在使用根的判别式解决问题时ꎬ如果二次项系数中含有字母ꎬ那么要加上二次项系数􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍 不为 ０􀪍􀪍􀪍 这个限制条件. 知识点 ４ 一元二次方程根与系数的关系(２０２２ 版课标去掉※ꎬ调整为考查内容) １. 如果一元二次方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０(ａ≠０)的两根分别是 ｘ１ꎬｘ２ꎬ那么 ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ 􀃊􀁊􀁒　 　 　 　 ꎬｘ１ｘ２ ＝ 􀃊􀁊􀁓　 　 　 　 . 【特别提醒】使用一元二次方程根与系数的关系的前提:方程是一元二次方程ꎬ且有根ꎬ即 ａ≠０ 且 ｂ２ － ４ａｃ≥０. ２. 根与系数关系的常见变形形式: (１)ｘ２１ ＋ ｘ２２ ＝ (ｘ１ ＋ ｘ２) ２ － ２ｘ１ｘ２ꎻ　 　 　 　 　 　 　 (２)(ｘ１ － ｘ２) ２ ＝􀃊􀁊􀁔