第1部分 第4单元 第6节 锐角三角函数及其应用-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

　第四单元　 三角形 第六节　 锐角三角函数及其应用 一阶　 教材知识全梳理 知识点 １ 锐角三角函数的概念(贵阳 ５ 年 ３ 考) 如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ ＝ ９０°ꎬ∠Ａꎬ∠Ｂꎬ∠Ｃ 的对边分别为 ａꎬｂꎬｃ. ∠Ａ 的正弦:ｓｉｎＡ ＝ ∠Ａ 的对边 斜边 ＝ ａｃ ꎻ ∠Ａ 的余弦:ｃｏｓＡ ＝ ∠Ａ 的邻边 斜边 ＝①　 　 　 　 ꎻ ∠Ａ 的正切:ｔａｎＡ ＝ ∠Ａ 的对边∠Ａ 的邻边 ＝②　 　 　 　 . 【特别提醒】锐角三角函数是两边的比ꎬ没有单位ꎬ但解题时要注意各边单位统一. 知识点 ２ 特殊角的三角函数值(贵阳 ５ 年 ２ 考) 　 　 　 　 锐角 α 锐角三角函数　 　 　 　 ３０° ４５° ６０° ｓｉｎα １２ ２ ２ ③　 　 　 　 ｃｏｓα ３ ２ ２ ２ ④　 　 　 　 ｔａｎα ３ ３ １ ⑤　 　 　 　 知识点 ３ 解直角三角形(贵阳 ２０１８. １８) 如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ｃ 为直角ꎬ∠Ａꎬ∠Ｂꎬ∠Ｃ 所对的边分别为 ａꎬｂꎬｃꎬ那么除直角∠Ｃ 外的五 个元素之间有如下关系: (１)三边关系:ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ｃ２(勾股定理)ꎻ (２)两锐角关系:∠Ａ ＋∠Ｂ ＝ ９０°ꎻ (３)边角关系:ｓｉｎＡ ＝ ｃｏｓＢ ＝ ａｃ ꎻｃｏｓＡ ＝ ｓｉｎＢ ＝ ｂ ｃ ꎻｔａｎＡ ＝ ａ ｂ ꎻｔａｎＢ ＝ ｂ ａ . 利用这些关系ꎬ知道其中的两个元素(至少有一个是边)ꎬ就可以求出其余三个未知元素. 知识点 ４ 解直角三角形的实际应用(２０２３. ２２ꎬ贵阳 ５ 年 ４ 考) 类型 图示 仰角、俯角 ９７ {#{QQABRYAEogiAABIAAAhCQwnyCgOQkAACCKoGAEAEIAABQQFABAA=}#} 　众相原创　 赋能中考　 贵州数学 续表 坡度(坡比)、坡角 　 坡角为⑥　 　 　 　 ꎻ 坡度(坡比) ｉ ＝ ｔａｎα ＝⑦　 　 　 　 方向角 　 点 Ａ 位于点 Ｏ 的⑧　 　 　 　 　 　 方向ꎻ 点 Ｂ 位于点 Ｏ 的⑨　 　 　 　 　 　 方向ꎻ 点 Ｃ 位于点 Ｏ 的⑩　 　 　 　 　 　 方向 二阶　 随堂必练经典题 基础一题多点 １. 在△ＡＢＣ 中ꎬ∠Ａꎬ∠Ｂ 都是锐角ꎬ且 ｓｉｎＡ ＝ ３２ ꎬｔａｎＢ ＝ ３ꎬ则△ＡＢＣ 的形状是 (　 　 ) Ａ. 直角三角形　 　 　 Ｂ. 钝角三角形　 　 　 Ｃ. 等边三角形　 　 　 Ｄ. 不能确定 ２. 源于北师九下 Ｐ１７ 第 １ 题 如图ꎬ在 Ｒｔ△ＡＢＣ 中ꎬ∠ＡＣＢ ＝ ９０°ꎬＢＣ ＝ ２ꎬＡＣ ＝ ６ꎬ则: (１)ｔａｎＢ ＝ 　 　 　 　 ꎬ∠Ｂ ＝ 　 　 　 　 °ꎬ∠Ａ ＝ 　 　 　 　 °ꎻ (２)ＡＢ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (３)ｓｉｎＡ ＝ 　 　 　 　 ꎬｃｏｓＡ ＝ 　 　 　 　 ꎬｓｉｎ２Ａ ＋ ｃｏｓ２Ａ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (４)ｓｉｎＢ􀅰ｃｏｓＢ － ｔａｎＢｓｉｎＡ ＝ 　 　 　 　 ꎻ (５)过点 Ｃ 作 ＣＤ⊥ＡＢ 于点 Ｄ. 下列关于线段 ＣＤ 的表示:①ＢＣ􀅰ｓｉｎＢꎻ②ＡＣ􀅰ｓｉｎＡꎻ③ＡＣ􀅰ＢＣＡＢ ꎻ ④ＡＣ􀅰ｃｏｓ∠ＡＣＤꎻ⑤ＢＤ􀅰ｓｉｎ∠ＢＣＤ. 不正确的是　 　 　 　 . (填序号) ３. 计算:２ｓｉｎ３０° － ３ｔａｎ４５°􀅰ｓｉｎ２４５° ＋ ｃｏｓ６０°. ４. 如图ꎬ在△ＡＢＣ 中ꎬＣＤ⊥ＡＢ 于点 ＤꎬｔａｎＡ ＝ ２ｃｏｓ∠ＢＣＤ. (１)求证:ＢＣ ＝ ２ＡＤꎻ (２)若 ｃｏｓＢ ＝ ３４ ꎬＡＢ ＝ １０ꎬ求△ＡＢＣ 的面积. ０８ {#{QQABRYAEogiAABIAAAhCQwnyCgOQkAACCKoGAEAEIAABQQFABAA=}#} 　第四单元　 三角形 重难一题多问 ５. ◀解直角三角形的实际应用▶(２０２２ 贵阳改编)交通安全心系千万家ꎬ高速公路管理局在某隧道 内安装了测速仪ꎬ如图所示的是该段隧道的截面示意图. 测速仪 Ｃ 和测速仪 Ｅ 到路面之间的距离 ＣＤ ＝ ＥＦ ＝ ７ ｍꎬ测速仪 Ｃ 和 Ｅ 之间的距离 ＣＥ ＝ ７５０ ｍꎬ一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速 行驶ꎬ在测速仪 Ｃ 处测得小汽车在隧道入口 Ａ 点的俯角为 ２５°ꎬ在测速仪 Ｅ 处测得小汽车在 Ｂ 点 的俯角为 ６０°ꎬ小汽车在隧道中从点 Ａ 行驶到点 Ｂ 所用的时间为 ３８ ｓ(图中所有点都在同一平面 内) . (参考数据: ３≈１. ７ꎬｓｉｎ２５°≈０. ４ꎬｃｏｓ２５°≈０. ９ꎬ ｔａｎ２５°≈０. ５ꎬｓｉｎ６５°≈０. ９ꎬｃｏｓ６５°≈０. ４ꎬ ｔａｎ６５°≈２. １) 【铺垫设问】 (１)∠ＣＡＤ ＝ 　 　 　 　 ꎬ∠ＥＢＦ ＝