第1部分 第4单元 第5节 相似三角形(含位似)-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学课堂精讲册（贵州专用）

　众相原创　 赋能中考　 贵州数学 第五节　 相似三角形(含位似) 一阶　 教材知识全梳理 知识点 １ 比例的性质和成比例线段 １.比例的性质 基本性质 若 ａ ｂ ＝ ｃ ｄ ꎬ则 ａｄ ＝ ｂｃꎻ 若 ａｄ ＝ ｂｃ(ａꎬｂꎬｃꎬｄ 都不为 ０)ꎬ则 ａｂ ＝①　 　 　 　 等比性质 若 ａ ｂ ＝ ｃ ｄ ＝􀆺 ＝ ｍ ｎ (ｂ ＋ ｄ ＋􀆺 ＋ ｎ≠０)ꎬ则 ａ ＋ ｃ ＋􀆺 ＋ ｍ ｂ ＋ ｄ ＋􀆺 ＋ ｎ ＝ ａ ｂ 合比性质 若 ａ ｂ ＝ ｃ ｄ ꎬ则 ａ ＋ ｂ ｂ ＝ ｃ ＋ ｄ ｄ ꎬ ａ － ｂ ｂ ＝ ｃ － ｄ ｄ ２. 成比例线段 对于四条线段 ａꎬｂꎬｃꎬｄꎬ如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另外两条线段的比相等ꎬ如 ａ ｂ ＝ ｃ ｄ (即 ａｄ ＝ ｂｃ)ꎬ我们就说这四条线段成比例. ３. 黄金分割 如图ꎬ点 Ｃ 把线段 ＡＢ 分成两条线段 ＡＣ 和 ＢＣꎬ且ＡＣＡＢ ＝ ＢＣ ＡＣꎬ那么就说线段 ＡＢ 被点 Ｃ 黄金分割ꎬ点 Ｃ 叫做线段 ＡＢ 的黄金分割点ꎬＡＣ 与 ＡＢ 的比叫黄金比ꎬ即ＡＣＡＢ ＝ ５ － １ ２ ≈０. ６１８. 知识点 ２ 平行线分线段成比例 内容 几何表述 基本事实 两条直线被一组平行线所截ꎬ 所得的对应线段成比例 如图ꎬｌ１∥ｌ２∥ｌ３ꎬ 则 ＡＢ ＢＣ ＝ ＤＥ ＥＦꎬ ＡＢ ＡＣ ＝ ＤＥ ＤＦꎬ ＢＣ ＡＣ ＝②　 　 　 　 推论 平行于三角形一边的直线截其 他两边(或两边的延长线)ꎬ所 得的对应线段成比例 如图ꎬＤＥ∥ＢＣꎬ 则 ＡＤ ＤＢ ＝ ＡＥ ＥＣꎬ ＡＤ ＡＢ ＝③　 　 　 　 知识点 ３ 相似三角形的性质与判定(２０２３. ２３(２)ꎬ贵阳 ５ 年 ９ 考) 性质 相似三角形的对应角④　 　 　 　 ꎬ对应边⑤　 　 　 　 ꎻ 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于⑥　 　 　 　 ꎻ 相似三角形的周长比等于⑦　 　 　 　 ꎬ面积比等于⑧　 　 　 　 　 　 　 　 ２７ {#{QQABTYAAggCgAAJAAQgCQw2CCgOQkACCACoGQFAIMAABgQFABAA=}#} 　第四单元　 三角形 续表 判定 方法 图示 几何表述 两角分别⑨　 　 　 　 的两个三角 形相似 ∵ ∠Ａ ＝∠Ａ′ꎬ∠Ｂ ＝∠Ｂ′ꎬ ∴ △ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′ 三边⑩　 　 　 　 的两个三角形 相似 ∵ ＡＢＡ′Ｂ′ ＝ ＢＣ Ｂ′Ｃ′ ＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′ꎬ ∴ △ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′ 两边成比例且􀃊􀁉􀁓　 　 　 　 相等的 两个三角形相似 ∵ ＡＢＡ′Ｂ′ ＝ ＢＣ Ｂ′Ｃ′ꎬ∠Ｂ ＝∠Ｂ′ꎬ ∴ △ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′ 平行于三角形一边的直线和其他 两边相交ꎬ所构成的三角形与原三 角形相似 ∵ ＤＥ∥ＢＣꎬ ∴ △ＡＤＥ∽△ＡＢＣ 【技巧点拨】相似三角形的判定思路: (１)有平行截线 找 →用平行线的性质找等角ꎻ (２)有一对等角 找 → 另一对等角ꎬ 该角的两边成比例ꎻ{ (３)有两边成比例 找 → 夹角相等ꎬ 第三边也对应成比例ꎬ 一对直角. ì î í ï ï ïï 知识点 ４ 相似多边形 概念 两个边数相同的多边形ꎬ如果它们的角分别相等ꎬ边成比例ꎬ那么这两个多边形叫做相似多 边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比 性质 (１)相似多边形的对应角􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 ꎬ对应边􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 ꎻ (２)相似多边形的周长比等于􀃊􀁉􀁖　 　 　 　 ꎬ面积比等于􀃊􀁉􀁗　 　 　 　 　 　 　 　 知识点 ５ 位似 概念 如果一个图形上的点 ＡꎬＢꎬ􀆺ꎬＰꎬ􀆺和另一个图形上的点 Ａ′ꎬＢ′ꎬ􀆺ꎬ Ｐ′ꎬ􀆺分别对应ꎬ并且它们的连线 ＡＡ′ꎬＢＢ′ꎬ􀆺ꎬＰＰ′ꎬ􀆺都经过同一点 ＯꎬＯＡＯＡ′ ＝ ＯＢ ＯＢ′ ＝􀆺 ＝ ＯＰ ＯＰ′ ＝ 􀆺ꎬ那么这两个图形叫做位似图形ꎬ点 Ｏ 是 位似中心 性质 (１)位似图形是相似图形ꎬ具有相似图形的所有性质ꎻ (２)对应点的连线所在直线都经过同一点ꎻ (３)对应边互相平行或在同一条直线上ꎻ (４)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于􀃊􀁉􀁘　 　 　 　 　 ꎻ (５)在平面直角坐标系中ꎬ如果以原点为位似中心ꎬ画一个与原图形位似的图形ꎬ使它与原 图形的相似比为 ｋꎬ那么原图形上的点(ｘꎬｙ)对应的位似图形上的点的坐标为􀃊􀁉􀁙　 　 　 　 (注意:有两种情况) 【特别提醒】位似必相似ꎬ相似不一定位似. ３７ {#{QQABTYAAggCgAAJAAQgCQw2CCgOQkACCACoGQFAIMAABgQFABAA=}#} 　众相原创　 赋能中考　 贵州数学 二阶　 随堂必练经典题