第6单元 圆-【众相原创·赋能中考】2024年中考数学考前记背册（贵州专用）

第六单元　圆 众相原创·贵州数学 记背（二十四）　圆的相关概念与性质 １．圆的相关概念 （１）弦：连接圆上任意两点的线段．如图中ＣＤ． （２）直径：经过圆心的弦．如图中ＢＤ． （３）弧：连接圆上任意两点间的部分． 弧 优弧：大于半圆的弧， 劣弧：小于半圆的弧{ ． （４）等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧． （５）圆心角：顶点在圆心的角．如图中∠ＡＯＢ． （６）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角．如图中∠ＣＤＢ． ２．圆的基本性质 （１）对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形．过圆心的任意一条直线 都是它的对称轴，圆心是它的对称中心． （２）旋转不变性：圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合． ３．圆的确定 （１）由圆心和半径可以确定一个圆； （２）不在同一条直线上的三个点确定一个圆． ４．弧、弦、圆心角之间的关系 （１）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等． （２）推论１：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相 等，所对的弦相等． （３）推论２：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相 等，所对的弧相等． ５．圆周角定理及其推论 （１）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （２）推论１：同弧或等弧所对的圆周角相等． （３）推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，９０°的圆周角所对的弦是 直径． ３３ 众相原创·贵州数学　 【特别提醒】①一条弦对应两条弧，这两条弧所对的圆周角互补；②一条弧 只对着一个圆心角，却对着无数个圆周角．当已知圆心角，求其对应的圆 周角度数时，若未画出图形，则需要分类讨论（分圆周角顶点在优弧和劣 弧上两种情况）． ６．垂径定理及其推论 （１）定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两 条弧，如图，若ＡＢ⊥ＣＤ，则ＡＭ＝ＢＭ， ) ＡＤ＝ ) ＢＤ， ) ＡＣ＝ ) ＢＣ． （２）推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧． ７．圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补． ８．构造辅助圆解决问题的常见模型 模型 模型特点 示例 定点定长 模型 情形一：动点 到定点的距离 固定 Ａ是定点，Ｂ是动点，ＡＢ＝ｒ固 定，则点Ｂ在以Ａ为圆心，ｒ为 半径的圆上 情形二：三条 共端点的线段 相等 ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ，则点 Ｂ，Ｃ，Ｄ都 在以 Ａ为圆心，ＡＢ为半径的 圆上 定弦对定 角模型 线段固定，且 该线段所对的 角度固定 ＡＢ固定，Ｃ为动点，且∠ＡＣＢ＝ α，则 点 Ｃ在 以 ＡＢ为 弦， ∠ＡＣＢ＝α为圆周角的圆上 （不与点Ａ，Ｂ重合） 四点共圆 模型 对角互补的四 边形的四个顶 点共圆 常考两个对角均为９０°，即 组成共斜边的两个直角三 角形的四个顶点共圆 ４３ 众相原创·贵州数学 记背（二十五）　与圆有关的位置关系 １．点与圆的位置关系 设圆的半径为ｒ，点到圆心的距离为ｄ，如图， 则：点在圆外ｄ＞ｒ；点在圆上ｄ＝ｒ； 点在圆内ｄ＜ｒ． ２．直线与圆的位置关系 设圆的半径为ｒ，圆心到直线的距离为ｄ， 则：直线与圆相离ｄ＞ｒ；直线与圆相切ｄ＝ｒ；直线与圆相交ｄ＜ｒ． ３．切线的性质 （１）圆的切线垂直于过切点的半径； （２）圆心到切线的距离等于半径； （３）切线和圆只有一个公共点． ４．切线的判定 （１）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线（判定思路： 已知公共点，连半径，证垂直）； （２）如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线 （判定思路：未知公共点，作垂直，证半径）； （３）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义）． ５．切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连 线平分两条切线的夹角． ６．三角形的外接圆 （１）三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆． （２）三角形的外心：三条边的垂直平分线的交点． （３）外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离 相等，如图，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ． ５３ 众相原创·贵州数学　 ７．三角形的内切圆 （１）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆． （２）三角形的内心：三条角平分线的交点． （３）内心的性质：三角形的内心到三角形的三条边 的距离相等，如图，ＯＤ＝ＯＥ＝ＯＦ． 记背（二十六）　与圆有关的计算 １．弧长、扇形面积的计算 设Ｒ为圆的半径，ｎ°为弧所对的圆心角的度数，ｌ为弧长． （１）弧长公式：ｌ＝ｎπＲ１８０； （２）扇形面积公式：Ｓ＝ｎπＲ ２ ３６０＝ １ ２Ｒｌ． ２．阴影部分面积的计算方法 方法 适用情形 举例 公式法 规则图形 Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＥＡＦ 和差法 等积 转换法 不规则 图形 直接转化为规则图 形面积的和或差 需要利用平移、旋 转、对称或证全等等 方式