吉林省洮南市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

洮南一中2023-2024学年度上学期期中考试 高二数学试题 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷,总分150,答题时间:120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题(每个小题只有一个正确选项,每小题5分) 1.直线与直线平行,则( ) A.0 B.1 C. D.1或 2.圆与圆外切,则的值为( ) A.3 B.-5 C.2或-5 D.3或-5 3.如图,在边长为的正方体中,( ) A.2 B.1 C. D. 4.过点作圆的切线,则切线的方程为( ) A. B. C.或 D.或 5.平行六面体的底面是边长为2的正方形,且,,则线段的长为( ) A. B. C. D. 6.已知在圆内,过点的最长弦和最短弦分别是和,则四边形的面积为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 7.直线平分圆的周长,过点作圆C的一条切线,切点为Q,则( ) A.5 B.4 C.3 D.2 8.若直线与曲线有公共点,则b的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、多选题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求的选项,全部选对得5分,少选得2分,有错误选项的得0分) 9.已知空间向量,,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.在上的投影向量为 10.如图,在棱长为2的正方体中,E为的中点F为的中点,如图建系,则下列说法正确的有( ) A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面的一个法向量是 D. 点D到直线的距离为 11.已知圆,点为圆上一动点,为坐标原点,则下列说法中正确的是( ) A.的最大值为 B.的最小值为 C.直线的斜率范围为 D.以线段为直径的圆与圆的公共弦方程 12.以下四个命题表述正确的是( ) A.直线恒过定点 B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C.曲线与曲线恰有三条公切线,则 D.已知圆,点为直线上一动点,过点向圆引两条切线、,其中、为切点,则直线经过定点 三、填空题(每小题5分) 13.已知空间向量,,若,则实数 . 14.若与平行,则的距离为 . 15.若,向量与平行且,则 . 16.已知点在圆和圆的公共弦上,则的最小值为 . 第Ⅱ卷 4、 解答题(第17题10分,18-22题每题12分) 17.已知直线. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程; (2)若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4,求实数的值. 18.根据下列条件,求圆的标准方程: (1)已知点A(1,1),B(﹣1,3),且AB是圆的直径,求圆的标准方程; (2)圆与轴交于A(0,﹣4),B(0,﹣2),圆心在直线上,求圆的方程. 19.如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,是的中点. (1)求异面直线与所成角余弦的大小; (2)求点到平面的距离. 20.已知圆,点A是圆C1上一动点,点,点C是线段AB的中点. (1)求点C的轨迹方程; (2)直线过点且与点C的轨迹交于 M,N两点,若,求直线的方程. 21.如图,正三棱柱中,,点为线段上一点(含端点). (1)当为的中点时,求证:平面; (2)线段上是否存在一点,使得平面与平面所成角的余弦值为.若存在,求出的位置:若不存在,说明理由. 22.已知圆经过点,且圆心在直线上. (1)求圆的方程. (2)直线与圆交于两点,问:在直线上是否存在定点;使得(分别为直线的斜率)恒成立?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.B 解析:因为直线与直线平行, 所以, 所以或, 当时,直线与直线重合,舍去, 故. 故选:B. 2.C 解析:圆,圆心为(-2,m),半径为3; 圆,圆心为(m,-1),半径为2; 已知两圆外切,则两个圆心的距离 , 解得 故选C. 3.A 解析:在正方体中,平面, 所以, 所以. 故选:. 4.C 解析:圆的圆心为原点,半径为1, 当切线的斜率不存在时,即直线的方程为,不与圆相切, 当切线的斜率存在时,设切线的方程为,即 所以,解得或 所以切线的方程为或 故选:C 5.C 解析:因为 所以 即 所以. 故选:C. 6.D 解析:圆 由题意可得 最长弦为直径等于6, 最短的弦由垂径定理可得, 则四边形的面积为. 故选:D. 7.B 解析:圆的圆心为,半径为, 因为直线平分圆的周长, 所以直线经过,所以,故, 由已知,,,圆的半径为3, 所以, 故选:B. 8.D 解析:将曲线的方程化简为 即表示以 为圆心,以2为半径的一个半圆,如图所示: 当直线经过时最大,即, 当直线与下半圆相切时最小, 由圆心到直线 的距离等于半径2,可得: 解得 (舍去),或 结合图象可得 故选:D. 9.ABD 解析:因为 所以, 所以,A正确; 因为,,所以B正确; ,因为,所以与不平行,故C错误; 在上的投影,与同向的单位向量为, 所以在上的投影向量为,D正确. 故选:ABD 10.BCD 解析:,