专题9.2 直线与圆的位置关系（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题9.2 直线与圆的位置关系 【核心素养】 1．考查圆的方程，凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养． 2．考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，凸显数学运算、直观想象的核心素养． 3.与圆锥曲线相结合考查，凸显数学运算、直观想象、数学应用的核心素养． 知识点一 圆的定义 圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 知识点二 圆的标准方程 1.圆的标准方程 (1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：． (2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆． 2.点与⊙C的位置关系 (1)|AC|<r⇔点A在圆内⇔； (2)|AC|＝r⇔点A在圆上⇔； (3)|AC|>r⇔点A在圆外⇔. 知识点三 圆的一般方程 圆的一般方程 (1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：. ①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，； ③若，则方程不表示任何图形． 知识点四 直线与圆相切 1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点； 2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即； 3.代数法：，方程组有一组不同的解. 知识点五 直线与圆相交及弦长 1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点； 2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即； 3.代数法：，方程组有两组不同的解. 4.弦长求法： （1）几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点．如图所示，在Rt△OCB中，|BC|2＝r2－d2，则弦长|AB|＝2|BC|＝2． （2）代数法：解方程组，消元后可得关于x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2的关系式，则|AB|＝＝． 知识点六 圆与圆的位置关系 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解. (2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解. (5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆. 知识点七 常用结论 1．圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线． 2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 3．当两圆相交(切)时，两圆方程(x2，y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程． 4．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋. 5．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 常考题型剖析 题型一： 求圆的方程 【典例分析】 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 例1-2.（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ． 【规律方法】 (1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 【变式训练】 变式1-1.（2020·山东高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（ ） A． B． C． D． 变式1-2.（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为 . 题型二：圆心、半径及直线过圆心问题 例2-1.（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 例2-2.（2020·北京·统考高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）． A．4 B．5 C．6 D．7 【总结提升】 涉及圆的方程问题，常用到圆的以下几何性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的垂直平分线上． 【变式训练】 变式2-1.（2023·全国·高