专题03 新知识学习型&新定义问题之求函数的解析式-2024年中考数学压轴题专项训练（湖南专用）

专题03 新知识学习型&新定义问题之求函数的解析式 通用的解题思路： 求一次函数解析式：①老方法：已知两个点的坐标，一令，二代：将两个点的坐标代入，计算出，三作答；②压轴题中的新方法，用求k公式来先求出k，再代入一个点来求出b，当求垂线的解析式或者点的坐标含参数时，用新方法更合适。 求二次函数解析式：①一般式：，压轴题中一般不用一般式来求二次函数解析式； ②顶点式：，告诉二次函数的顶点时，优先选用顶点式； ③一般式：，告诉二次函数与x轴的两交点时，优先选用交点式。 1．（长沙中考）若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的 “带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”． （1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值； （2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4，求此“路线”L的解析式； （3）当常数k满足≤k≤2时，求抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围． 【详解】解：（1）令直线y=mx+1中x=0，则y=1，即直线与y轴的交点为（0，1）； 将（0，1）代入抛物线y=x2﹣2x+n中，得n=1．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．将点（1，0）代入到直线y=mx+1中，得：0=m+1，解得：m=﹣1． （2）将y=2x﹣4代入到y=中有，2x﹣4=，即2x2﹣4x﹣6=0，解得：x1=﹣1，x2=3． ∴该“路线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）或（3，2）．令“带线”l：y=2x﹣4中x=0，则y=﹣4， ∴“路线”L的图象过点（0，﹣4）．设该“路线”L的解析式为y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2， 由题意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，解得：m=2，n=﹣． ∴此“路线”L的解析式为y=2（x+1）2﹣6或y=﹣（x﹣3）2+2． （3）令抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，则y=k，即该抛物线与y轴的交点为（0，k）． 抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的顶点坐标为（﹣，）， 设“带线”l的解析式为y=px+k，∵点（﹣，）在y=px+k上， ∴=﹣p+k，解得：p=．∴“带线”l的解析式为y=x+k． 令∴“带线”l：y=x+k中y=0，则0=x+k，解得：x=﹣． 即“带线”l与x轴的交点为（﹣，0），与y轴的交点为（0，k）． ∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S=|﹣|×|k|，∵≤k≤2，∴≤≤2， ∴S=， 当=1时，S有最大值，最大值为；当=2时，S有最小值，最小值为． 故抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为≤S≤． 2.（青竹湖）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”． （1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式； （2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C1； ①求C1关于点R（1，0）的对称函数图象C2的函数解析式； ②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值； （3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣）x﹣（2m﹣）都不通过点P，求符合条件的点P坐标． 【详解】（1）取y=-2x+3上两点（0，3），（ ，0）两点关于y=-x对称点为（-3，0），（0，- ） 设y=x+b，则 ，解得 ，则 ， （2）①设C2上的点为（x，y），其关于（1，0）的对称点为（2-x，-y），(2-x，-y)在C1上，则，C2:， ②C1关于y轴交于（0，4a-1）， C2关于y轴交于（0，-16a+1）， AB=｜(4a-1)-(-16a+1)｜=16，｜2a-2｜=16，解得a= 或- ， （3）y=-2x-3关于原点对称函数为y=-2x+3， 抛物线:，令 ，得x1=1，x2=-1， 则抛物线经过（1， ），（-2， ） ，令x=1，y=-2x-3=1，令x=-2，y=-2x+3=7， 点（1，1）（-2，7）在y=-2x+3上，由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上， 故P为(1，1)或(-2，7)． 3.定义：将点P关于原点对称的点绕原点顺时针旋转后得到的点称为P的反转点，连接 形成的直线称为反转线，当直线与函数L的图象有交点时的反转线