第22讲 数列求和讲义-2024届高三数学一轮复习

高三数学一轮复习讲义 第22讲 数列求和 【必备知识】 1 分组并项求和法： 2 裂项相消求和法： 备注：常用裂项公式 （1） （2） （3） （4） （5） 3 错位相减求和法： 备注：求和后，注意验证 【题型精讲】 【题型一 分组并项求和法】 【题1】已知数列为等比数列，在数列中，，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，，求数列的前项和. 【题2】设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，，，且，设，求数列的前项和. 【题3】递增的等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前40项的和. 【题4】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. (3)，求数列的前项和. 【题型二 裂项相消求和法】 【题1】已知正项数列满足. (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 【题2】已知数列是递增的等差数列，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值. 【题3】已知各项均为正数的数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前项和. 【题4】已知数列的前项和为，，． (1)请在①②中选择一个作答，并把序号填在答题卡对应位置的横线上，①求数列的通项公式；②求； (2)令，求数列的前项和，并证明． 【题5】已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列前项和为，求证：． 【题6】已知数列为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)数列满足，数列的前项和为，求证：． 【题7】递增的等差数列的前项和为，已知，且是和的等比中项． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，证明：． 【题8】已知等差数列的首项为1，公差，前项和为，且为常数． (1)求数列的通项公式； (2)令，证明：． 【题型三 错位相减求和法】 【题1】已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前n项和． 【题2】已知数列满足：，，设． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【题3】在等比数列和等差数列 中，已知， (1)求数列和的通项公式; (2)求数列的前项和. 【题4】已知数列和，其中的前项和为，且，. (1)分别求出数列和的通项公式； (2)记，求证：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学一轮复习讲义 第22讲 数列求和 【必备知识】 1 分组并项求和法： 2 裂项相消求和法： 备注：常用裂项公式 （1） （2） （3） （4） （5） 3 错位相减求和法： 备注：求和后，注意验证 【题型精讲】 【题型一 分组并项求和法】 【题1】已知数列为等比数列，在数列中，，，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先求出等比数列的公比，然后利用等差数列的定义求出数列的通项公式； （2）结合等差数列求和公式及等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）由已知，所以等比数列的公比为， 所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）得：. 【题2】设数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，，，且，设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先由已知求出，再由，得当时，两式相减化简可求出； （2）由可得数列是等比数列，且首项为2，公比为2，从而可求得，则，然后利用分组求和法可求得结果. 【详解】（1）由已知当时，，由已知，当时， 两式相减得， 又当时，，满足，所以. （2）由已知，且，得， 又，所以，所以， 所以数列是等比数列，且首项为2，公比为2，所以. 因为， 所以 . 【题3】递增的等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前40项的和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）设公差为且，由等比数列性质、等差数列通项公式、前n项和公式列方程求基本量，即可得的通项公式； （2）由（1）可得，应用分组求和及等差数列前n项和公式求. 【详解】（1）设公差为且，又，则， 由， 所以，故，则. （2）由（1）知：，则， 所以 . 【题4】已知等差数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. (3)，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)；(3)当为奇数时，；当为偶数时，. 【分析】（1） 设等差数列的公差为,根据题意求出的值，即可得答案； （2）由题意可得，再采用分组求和即可得答案； （3）