第四章 章末总结　(四)指数函数与对数函数-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

章末总结　(四)指数函数与对数函数　► 对应学生用书P101 考点一　指数与对数的运算 1．本章主要学习了指数幂的运算、对数的运算性质及换底公式，其中指数与对数的互化、应用相应运算性质化简、求值是考查的重点． 2．指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 例1.(1)(2023·福建龙岩一中高一检测)设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3 B．6 C．9 D．12 解析：选C.函数f(x)＝ 即有f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3， f(log212)＝2log212－1＝2log212×＝12×＝6，则有f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9. (2)已知2a＝5b＝10，则＋＝(　　) A．1 B．2 C． D． 解析：选A.若2a＝5b＝10，可得a＝log210，b＝log510，则＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1. 【练一练】 1．计算：＋log2(log216)＝________． 解析：原式＝＋log24＝＋2＝. 答案： 2．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为________. 解析：由2x＝3，log4＝y得x＝log23，y＝log4＝log2，所以x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3. 答案：3 考点二　指数函数、对数函数的图象问题 1．函数y＝ax及y＝logax(a>0，且a≠1)的图象关于直线y＝x对称，前者恒过(0，1)点，后者恒过(1，0)点，两函数的单调性均由底数a决定．在解题中要注意由翻折、平移等变换得出的函数图象． 2．函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化，提高直观想象的学科素养． 例2.在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 解析：选D.若0<a<1，则函数y＝是增函数，y＝loga是减函数且其图象过点，结合选项可知，只有选项D满足条件；若a>1，则y＝是减函数，而y＝loga是增函数且其图象过点，结合选项可知，没有符合的图象． 【练一练】 3．若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　) 解析：选B.由题意y＝logax(a>0且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符．故选B. 考点三　指数函数、对数函数的性质 以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或解不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围． 例3.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1， 所以f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋， 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k). 因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k. 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0， 从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 故k的取值范围为. 【练一练】 4．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3). (1)若f(－1)＝－3，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由． 解：(1)由f(－1)＝－3，得log(4＋2a)＝－3. 所以4＋2a＝8，所以a＝2. 则f(x)＝log(x2－4x＋3)， 由x2－4x＋3>0，得x>3或x<1. 故函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞). 令μ＝x2－4x＋3， 则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增． 又y＝logμ在(0，＋∞)上单调递减， 所以f(x)的单调递增区间