第二章 章末总结　(二)一元二次函数、方程和不等式-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

章末总结　(二)一元二次函数、方程和不等式　　 ► 对应学生用书P37 考点一　不等式的性质及应用　　　　　　　　　　　　　　　　 不等式性质是本章的重要考点，主要有以下命题角度：(1)根据不等式性质判断命题真假；(2)利用不等式性质解不等式；(3)利用不等式性质证明不等式；(4)利用不等式性质求代数式范围．题型多为选择或填空题，有时也命制解答题，难度中低等．解题时要注意各个性质适用的条件． 例1.已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，请写出可组成正确命题的两个命题． 解：若ab>0，bc－ad>0成立，不等式bc－ad>0两边同除以ab可得－>0， 即命题1：ab>0，bc－ad>0⇒－>0. 若ab>0，－>0成立，不等式－>0两边同乘ab，可得bc－ad>0， 即命题2：ab>0，－>0⇒bc－ad>0. 若－>0，bc－ad>0成立，则－＝ >0. 又bc－ad>0，则ab>0， 即命题3：－>0，bc－ad>0⇒ab>0. (以上三个命题中任意选择两个命题都可以) 【练一练】 1．已知a>b>0，c<d<0，e<0，则下述一定正确的是(　　) A．ae>be B．c2<d2 C．＋>0 D．(d－c)e> 解析：选C.因为a>b>0，c<d<0，e<0，所以ae<be，c2>d2，故AB错误； －c>－d>0，所以a－c>b－d>0，所以<，所以>， 即＋>0，故C正确； 对于D，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－，e＝－1时，则(d－c)e＝2＝，故D错误． 考点二　基本不等式及其应用 基本不等式应用广泛，主要用于求函数的最值．一些恒成立问题、不等式的证明问题、实际情境中的最值问题等都可以转化为基本不等式问题．常考题型为选择或填空题，难度中等．解题时要注意不等式成立的前提，有时要根据式子特点构造应用基本不等式的条件． 例2.(1)若x<1时，不等式2x＋m＋<0恒成立，则实数m的取值范围是___________． 解析：∵x<1时，2x＋m＋<0恒成立， ∴m<－2x－＝2(1－x)＋－2当x<1时恒成立， ∵x<1，∴1－x>0，>0， ∴2(1－x)＋≥2＝2，当且仅当2(1－x)＝，即x＝1－时取等号．∴m<2－2. ∴实数m的取值范围是{m|m<2－2}． 答案：{m|m<2－2} (2)已知正实数a，b满足＋＝1，求证：a＋b≥. 证明：因为2a＋2b＋1＝2a＋b＋b＋1， 由＋＝1，可得2a＋b＋b＋1＝[(2a＋b)＋(b＋1)] ＝1＋＋1＋≥2＋2＝4， 当且仅当a＝，b＝1时取等号，所以2a＋2b＋1≥4，即a＋b≥. 【练一练】 2．已知a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥3. 证明：∵a，b，c均为正实数， ∴＋≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)， ＋≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)， ＋≥2(当且仅当2b＝3c时等号成立)， 将上述三式相加得＋＋(＋)≥6(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)， ∴＋＋(＋－1)≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立)， 即＋＋≥3(当且仅当a＝2b＝3c时等号成立). 考点三　一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法包括不含参数的和含有参数的形式．不含参的一元二次不等式解法比较简单，常与集合问题结合；含参不等式要注意分类讨论，关键是弄清分类的依据，做到不重不漏． 例3.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0. (1)当a＝－1，b＝2，c＝1时，求该不等式的解集； (2)从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集． ①a＝1，b＝－2－m，c＝2m； ②a＝m，b＝m－2，c＝－2. 注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)当a＝－1，b＝2，c＝1时不等式为－x2＋2x＋1≥0， 可化为x2－2x－1≤0，解得1－≤x≤1＋，所以不等式的解集为{x|1－≤x≤1＋}． (2)若选①，a＝1，b＝－2－m，c＝2m，不等式为x2－(2＋m)x＋2m≥0， 即(x－2)(x－m)≥0，当m>2时，不等式解集为{x|x≤2或x≥m}， 当m＝2时，不等式解集为R， 当m<2时，不等式解集为{x|x≤m或x≥2}， 综上所述：当m>2时，不等式解集为{x|x≤2或x≥m}， 当m＝2时，不等式解集为R，当m<2时，不等式解集为{x|x≤m或x≥2}． 若选②a＝m，b＝m－2，c＝－2.不等式为mx2＋(m－2)x－2≥0， 若m＝0，不等式可化为－2x－2≥0，不等式解集为{x|x≤－1}， 若m≠0，不等式可化为(mx－2)(x＋1)≥0， 当m>0时，不等式解集为{x|x≤－1或x≥}， 当m<－2时，不等式解集为