第一章 章末总结　(一)集合与常用逻辑用语-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

章末总结　(一)集合与常用逻辑用语　　► 对应学生用书P22 考点一　集合的交、并、补集运算 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算，这也是高考对集合部分的主要考查点，有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得，有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式或方程，再进行集合运算，还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 例1.(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，3} B．{0，3} C．{－2，1} D．{－2，0} 解析：选D.由题意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝，所以A∪B＝， 所以∁U＝. 例2.已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1<x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B). 解：(1)由题知，A＝{2，3，4}， B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3，4}， 所以∁U(A∪B)＝{0，5，6}． 【练一练】 1．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x∣<4}， N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.M＝{x|0≤x<16}，N＝{x|x≥}，故M∩N＝{x|≤x<16}． 2．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 解析：选A.由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，BCD错误． 考点二　集合间关系与运算中的参数问题 根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为A⫋B或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决．在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体．要注意作图准确，分类全面． 例3.已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅. 解：(1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}， ∵(∁RA)∪B＝R(如图)， ∴ ∴－1≤a≤0. ∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾，即这样的实数a不存在． 考点三　充分条件与必要条件 本考点经常考查利用充分条件和必要条件求参数的取值范围问题．主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解． 例4.已知p：x－2>0，q：ax－4>0，其中a∈R且a≠0. (1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 解：(1)设命题p对应的集合为A＝{x|x－2>0}，即A＝{x|x>2}，命题q对应的集合为B＝{x|ax－4>0}． 因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，即解得a>2，故实数a的取值范围为{a|a>2}． (2)因为p是q的必要不充分条件，所以由(1)知B⫋A. ①当a>0时，由B⫋A，得>2，得0<a<2； ②当a<0时，则<0，B＝{x|ax－4>0}＝，不满足题意． 综上，实数a的取值范围为{a|0<a<2}． 【练一练】 3．已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，集合B＝或，全集U＝R. (1)若a＝1，求∪B； (2)若A⫋B，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，A＝，所以∁UA＝{x|x<1或x>3}， 则∪B＝{x|x<1或x>3}． (2)由题意知A≠∅，因为A⫋B，所以满足a＋2<－1或a>5，解得a∈{x|x<－3或x>5}， 所以实数a的取值范围是{x|x<－3或x>5}． 4．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}． (1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件； (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件． 解：(1)由M∩P＝{x|5<x≤8}，得－3≤a≤5，因此M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5，即a的取值范围为{a|－3≤a≤5}． (2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a