第一章 章末总结　(一)集合与常用逻辑用语-【正禾一本通】2023-2024学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版2019）

数学 必修第一册（人教） 第一章 集合与常用逻辑用语 章末总结　(一)集合与常用逻辑用语 ⫋ ⫋ ⫋ ⫋ ⫋ 考点一　集合的交、并、补集运算 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算，这也是高考对集合部分的主要考查点，有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得，有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式或方程，再进行集合运算，还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 例1.(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，3} B．{0，3} C．{－2，1} D．{－2，0} 解析：由题意，B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3)) ，所以A∪B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，2，3)) ， 所以∁U eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A∪B)) ＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0)) . 答案：D 例2.已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1<x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}． (1)用列举法表示集合A与B； (2)求A∩B及∁U(A∪B). 解：(1)由题知，A＝{2，3，4}， B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1，2}． (2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3，4}， 所以∁U(A∪B)＝{0，5，6}． 【练一练】 1．(2022·新高考Ⅰ卷)若集合M＝{x∣ eq \r(x) <4}， N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝(　　) A． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0≤x<2)))) B． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2)))) C． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(3≤x<16)))) D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16)))) 解析： M＝{x|0≤x<16}，N＝{x|x≥ eq \f(1,3) }，故M∩N＝{x| eq \f(1,3) ≤x<16}． 答案：D 2．(2022·全国乙卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则(　　) A．2∈M B．3∈M C．4∉M D．5∉M 解析：由题知M＝{2，4，5}，对比选项知，A正确，BCD错误． 答案：A 考点二　集合间关系与运算中的参数问题 根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为A B或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决．在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体．要注意作图准确，分类全面． 例3.已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； (2)是否存在实数a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅. 解：(1)A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}， ∵(∁RA)∪B＝R(如图)， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤0，,a＋3≥2.)) ∴－1≤a≤0. ∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}． (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， 考点三　充分条件与必要条件 本考点经常考查利用充分条件和必要条件求参数的取值范围问题．主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解． 例4.已知p：x－2>0，q：ax－4>0，其中a∈R且a≠0. (1)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 解：(1)设命题p对应的集合为A＝{x|x－2>0}，即A＝{x|x>2}，命题q对应的集合为B＝{x|ax－4>0}． 因为p是q的充分不必要条件，所以AB，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(4,a)<2，)) 解得a>2，故实数a的取值范围为{a|