北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期中练习数学试卷（B）

丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习 高二数学（B卷）练习 时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）直线的倾斜角为 （A） （B） （C） （D） （2）已知向量，，且，则 （A） 　　　 （B） （C） （D） （3）已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为 （A） （B） （C） （D） （4）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为 （A） （B） （C） （D） （5） 圆截轴所得弦的长度为 （A） （B） （C） （D） （6）若直线和直线的交点在第二象限，则的取值范围为 （A） （B） （C） （D） （7）如图，在平行六面体中，若，则有序实数组 （A） （B） （C） （D） （8）已知直线：，：，若 ，则实数 （A） （B） （C）或 （D）或 （9）已知平面，其中点，向量，则下列各点中在平面内的是 （A） （B） （C） （D） （10）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）. 数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 如图，已知一个正八面体的棱长为2，，分别为棱，的中点，则直线和夹角的余弦值为    （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分. （11）以点为圆心且半径为的圆的标准方程是______. （12）已知点，，，则______. （13）已知直线经过点，且斜率为，则直线的一个方向向量为______. （14）已知点为圆上一点，记为点到直线的距离. 当变化时，的最大值为______. （15）在长方体中，，，点是棱上的动点，给出下列4个结论： ①； ②； ③若为中点，则点到直线的距离为； ④存在点，使得平面． 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （16）（本小题14分） 在△中，，，. （Ⅰ）求边所在直线的方程； （Ⅱ）求边上的中线所在直线的方程. （17）（本小题14分） 已知向量，， . （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）求； （Ⅲ）若，，不能构成空间向量的一个基底，求实数的值. （18）（本小题14分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，是棱的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. （19）（本小题14分） 已知圆：. （Ⅰ）求圆的圆心坐标以及半径； （Ⅱ）求经过点的圆的切线方程； （Ⅲ）若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围. （20）（本小题14分） ( 图 2 )赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图2所示的平面直角坐标系． ( 图 1 ) （Ⅰ）求这座圆拱桥的拱圆的方程； （Ⅱ）若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. （21）（本小题15分） 如图，在直三棱柱中，，，． ，分别为棱，的中点，与交于点． （Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅱ）求直线到平面的距离； （III）在线段上是否存在点，使得平面？ 若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 高二