重难点专题31 立体几何压轴小题（轨迹与最值）十四大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题31立体几何压轴小题（轨迹与最值）十四大题型汇总 题型1平行求轨迹 1 题型2垂直求轨迹 4 题型3翻折求轨迹 5 题型4角度恒定求轨迹 8 题型5定长求轨迹 10 题型6向量法求轨迹 12 题型7阿波罗尼斯圆相关 15 题型8解析几何相关 17 题型8线段最值 19 题型9折线求最值 21 题型10倍数求最值 23 题型11点线距离求最值 25 题型12点线面距离求最值 26 题型13周长求最值 28 题型14面积求最值 31 题型1平行求轨迹 【例题1】（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体中，点满足，，分别为棱，的中点，点在正方体的表面上运动，满足面，则点的轨迹所构成的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为3，点满足．若在正方形内有一动点满足平面，则动点的轨迹长为（    ） A．3 B． C． D． 【变式1-1】2. （2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足平面，则下列说法正确的是（    ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为 【变式1-1】3.（多选）（2024秋·山东临沂·高三校联考开学考试）在三棱台中，平面，，点为平面内一动点（包括边界），满足平面，则（    ） A．点P的轨迹长度为1 B．P到平面的距离为定值 C．有且仅有两个点P，使得 D．与平面所成角的最大值为30° 【变式1-1】4. （多选）（2023·重庆·统考模拟预测）在棱长为4的正方体中，点E为棱的中点，点F是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．直线与直线夹角为 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．若则动点F的轨迹长度为 D．若平面，则动点F的轨迹长度为 【变式1-1】5.（多选）（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E､F､G､M､N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论正确的有（    ）    A．当点P为BC中点时，平面PEF⊥平面GMN B．异面直线EF､GN所成角的余弦值为 C．点E､F､G､M､N在同一个球面上 D．若，则P点轨迹长度为 【变式1-1】6．（多选）（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）如图，正方体的棱长为3，E为AB的中点，，动点M在侧面内运动（含边界），则（    ） A．若∥平面，则点M的轨迹长度为 B．平面与平面ABCD的夹角的正切值为 C．平面截正方体所得的截面多边形的周长为 D．不存在一条直线l，使得l与正方体的所有棱所成的角都相等 【变式1-1】7.（多选）（2023·河北·模拟预测）如图所示，已知正方体的棱长为，点分别是棱的中点，点是侧面内一点（含边界）．若平面，则下列说法正确的有（    ） A．点的轨迹为一条线段 B．三棱锥的体积为定值 C．的取值范围是 D．直线与所成角的余弦值的最小值为 题型2垂直求轨迹 【例题2】（2023·全国·高三对口高考）如图，定点A和B都在平面内，定点，C是内异于A和B的动点，且．那么，动点C在平面内的轨迹是（    ）    A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点 C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点 【变式2-1】1. （2023·全国·高三对口高考）正四棱锥的底面边长为2，高为2，E是边的中点，动点P在表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为（    ） A． B． C．4 D． 【变式2-1】2. （2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱中，，，为中点，为正四棱柱表面上一点，且，则点的轨迹的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】3. （2023·宁夏银川·校联考二模）已知线段垂直于定圆所在的平面，是圆上的两点，是点在上的射影，当运动，点运动的轨迹（    ） A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形 【变式2-1】4. （多选）（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知正方体的棱长为2，点为平面内一动点，则下列说法正确的是（    ） A．若点在棱上运动，则的最小值为 B．若点是棱的中点，则平面截正方体所得截面的周长为 C．若点满足，则动点的轨迹是一条直线 D．若点在直线上运动，则到棱的最小距离为 题型3翻折求轨迹 【例题3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到的位置，连接PC，PD，在翻折的过程中，则（    ）    A．四棱锥体积的最大值为 B．PD的