广东省广州市第四中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

广州市第四中学2023学年第一学期10月阶段考 高二数学 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的化简结果是（　　） A. B. C. D. 3. 已知直线：和：平行，则实数（ ） A. B. 2 C. 或 D. 1 4. 已知，，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 1 6. 在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，M是的中点，则（ ） A. 5 B. 7 C. 3 D. 7. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 8. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上。错选不得分，部分选对得2分，全选对得5分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 过，两点的所有直线的方程为 D. 方程与方程表示同一条直线 10. 设为实数，已知圆，直线：，当为（ ）时，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1. A. B. 1 C. D. 11. 若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ） A. B. C. D. 12. 法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，过上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线交于A，B两点，则（ ） A. B. 面积最大值为 C. M到的左焦点的距离的最小值为 D. 若动点D在上，将直线，的斜率分别记为，，则 三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.） 13. 若两条平行直线与之间的距离是，则__________． 14. 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 15. 已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为______． 16. 两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为___________． 四、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.） 17. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边中线所在的直线方程 （2）的外接圆的方程 18. 四边形菱形，平面，，，． （1）设中点为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的大小． 19. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC. （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 20. 为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站（点在点、点之间），它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到两观测站距离，之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）． （1）以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的方程； （2）某日在观测站处发现，在该海上平台正南海里的处，有一艘轮船正以每小时海里的速度向北偏东方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，说明理由；如果进入，则它在安全预警区中的航行时间是几小时． 21. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点B，C，且，求的值. 22. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，． （1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线平面EFN； （2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围． 广州市第四中学2023学年第一学期10月阶段考 高二数学 一、单选题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上