专题4-9 数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题-【重难点突破】备考2024届高考数学-模型·方法·技巧专题（新高考专用）

专题4-9 数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题 数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩. 当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意. 目录 题型一 通项放缩 3 题型二 与导数结合的放缩 8 题型三 数列恒成立问题 10 1．常见的裂项公式：必须记 例如：或者等 2.一个重要的指数恒等式： 次方差公式 这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列. 3.糖水不等式：设，则. 4.利用导数产生数列放缩：由不等式可得：. 常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择） 一、等差型 （1）； （2）； （3）； （4）； 二、根式型 （5）； （7）； （8） ； （9） ； 三、指数型 （10）； （11）； （12）； （13）． （14）． （2021浙江卷）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 解析：由 ，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，. 一方面：. 另一方面，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以 ，即．故选：A． 重点题型·归类精讲 题型一 通项放缩 1． 已知，若数列的前n项和为，求证：. 【详解】证明：由（1）得， 所以， 所以 2． 已知，证明： 【详解】 ， 所以 3． （2014全国2卷）已知，证明：. 解析：，因为当时，，所以 于是. 所以. 注：此处便是利用了重要的恒等式：次方差公式： 当然，利用糖水不等式亦可放缩：，请读者自行尝试. 4． 已知，的前项和为，，，数列的前项和为，证明：. 【详解】，则，. ，则. ∴ . ∴ 5． 的整数部分是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】注意到 ， ， 据此可得答案. 【详解】 因， 则 . 又 ，则 . 故，即整数部分为4. 2023届·广东省综合素质测试（光大联考） 6． 已知正项数列的前n项和为，且满足. (1)证明：数列是等差数列； (2)设数列的前n项和为，证明： 【详解】（1）当时，由， 所以数列是等差数列； （2），由（1）可知数列是等差数列，且公差为， 所以，又因为数列是正项数列， 所以，即， . 2024届·广州·仲元中学校考 7． 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，， (1)求和的通项公式： (2)记，证明： 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质求解， （2）由放缩法与错位相减法求和证明． 【详解】（1）对于等差数列，，而，解得，故， 对于等比数列，，则，而公比，解得，故 （2），则 令，则， 两式相减得， 得，故，原式得证 8． 已知数列前n项积为，且，设，求证：． 【详解】． 所以 ． 又因为， 所以． 9． 已知，数列，证明：. 【分析】当时，验证所证不等式成立，当时，由放缩法可得出，再结合等比数列求和公式可证得原不等式成立，综合可得出结论. 【详解】解：由，所以，， 所以，， 当时，， 当时，. 综上所述，对任意的，. 10． 已知，若，为的前n项和，证明：． 【解析】,,, ， ， . 题型二 与导数结合的放缩 利用导数产生数列放缩：由不等式可得：. 11． （2017全国3卷）已知函数． （1）若，求的值； （2）设为整数，且对于任意正整数，，求的最小值． 解析：（2）由（1）知当时，，令得，从而. 故,而，所以的最小值为3． 2,.两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当时，等号成立. 进一步，在不等式左端结合均值不等式可得： 当时，即. 令，则，所以①. 若再利用 ，接下来 令，，可得， ②. 12． 已知函数，设数列的通项，证明：. 解析：由上述不等式①，所以， ， …，.将以上各不等式左右两边相加得： ， 即， 故，即. 13． 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（3）证明：由上述不等式②，，进一步求和可得： ， 即． 题型三 数列恒成立问题 14． 已知等差数列的前n项和记为（），满足,数列为单调递减数列，求的取值范围. 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，由已知可得，求得，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围； 【详解】设等差数列的公差为，由于， 所以，解得， 所