2023-2024学年天津市高三数学专项练习：立体几何解答题

2023-2024学年天津市高三数学专项练习：立体几何解答题 目录 一、线面角 1 二、二面角 3 三、 点面距离 8 四、动点存在性问题 10 一、线面角 线面角 (1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，(图中)为直线l与面所成的角。 (2)范围： 当时，或，时， (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出线面角，并证明。步骤2：解三角形，求出线面角。 方法二：向量法(为平面的一个法向量)。 1．（2023·天津·二模）如图甲所示的平面五边形中，，，，，，现将图甲所示中的沿边折起，使平面平面得如图乙所示的四棱锥．在如图乙所示中， （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）在棱上是否存在点使得与平面所成的角的正弦值为？并说明理由． 2．（2023·天津河东·一模）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)一束光从玻璃窗面上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值． 3．（2023·天津·校联考一模）如图，在菱形中，，平面，平面，，. (1)若，求证：直线平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 4．（2023·天津·三模）如图，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，，，，，.    （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成的角. 二、二面角 二面角及其平面角 (1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。 (2)范围： (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。 方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。 步骤一：计算 步骤二：判断与的关系，可能相等或者互补。 5．（2023·天津·校联考二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，平面ABCD，E为PD中点. (1)若. （i）求证：平面PCD； （ii）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值； (2)若平面BCE与平面CED夹角的正弦值为，求PA. 6．（2023·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考三模）如图，AE⊥平面ABCD，， (1)求证：BF∥平面ADE； (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值： (3)求平面BDE与平面BDF夹角的余弦值. 7．（2023·天津和平·统考一模）在如图所示的几何体中，平面平面；是的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 8．（2023·天津南开·统考二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，垂足为. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角. 9．（2023·天津和平·统考二模）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求平面与平面的夹角的正弦值． 10．（2023·天津河西·统考二模）如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，． (1)求证：平面AMC； (2)求异面直线AM与所成角的余弦值； (3)求平面AMC与平面的夹角的余弦值． 11．（2023·天津·统考一模）如图，在多面体中，底面为菱形，平面，平面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值： (3)求平面和平面的夹角的余弦值． 12．（2023·天津·统考一模）如图，在四棱锥中，是的中点，平面，且，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的大小. 13．（2023·天津河北·统考一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 14．（2023·天津河西·统考一模）已知四棱锥中，平面，，，，线段的中点． (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 15．（2023·天津和平·耀华中学校考一模）如图，三棱柱中，，，. (1)证明； (2)若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 3、 点面距离 点面距。 方法一：几何法。 步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为