四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试文科数学试卷

{#{QQABKYIEogAIABIAAQgCQwFQCEGQkAGCCAoGxAAIIAIBQQNABAA=}#} {#{QQABKYIEogAIABIAAQgCQwFQCEGQkAGCCAoGxAAIIAIBQQNABAA=}#} 绵阳市高中2021级第一次诊断性考试 文科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． BBCAD BACBC BC 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．7 14． 15． 16．1 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（1）由S1，2S2，3S3成等差数列，则4S2=S1+3S3，得3a3=a2， 3分 ∴数列{an}的公比q， 4分 由，数列{an}的通项公式； 6分 （2）令，则， 8分 ∴当时，， 9分 ∴当或4时，Tn取得最大值：． 12分 18．解：（1）∵， ∴，而， 2分 ∴，即， 3分 ∴的最小正周期为：； 4分 （2）由题意，， 5分 ∵， ∴， 7分 ∴Z， 9分 ∴， 10分 ∴的最小值为． 12分 19．解：（1）∵为奇函数， ∴，解得：m=2． 5分 （2）当m>0时，2x2+m>0 ， ∴函数不可能有两个零点． 6分 当m <0时，由，解得：或m2， 7分 要使得f(x)仅有两个零点，则， 8分 即，此方程无解． 故m=0，即， 9分 令，则， ，解得：或，解得：， 故在，上递增，在上递减， 10分 又， 故函数仅有一个零点． 12分 20．解：（1）∵cos(CB)sinA=cos(CA)sinB ∴(cosCcosB+sinCsinB)sinA=(cosCcosA+sinCsinA)sinB 2分 ∴cosCcosBsinA=cosCcosAsinB 3分 又∵△ABC为斜三角形，则cosC≠0， ∴cosBsinA=cosAsinB， 5分 ∴sin(AB)=0，又A，B为△ABC的内角， ∴A=B； 6分 （2）在△ABC中，由（1）知，a=b， 由正弦定理，则， 7分 又，即， ∴， ∴==sin2Bsin22B， 9分 ∴=sin2Bsin22B=sin2B4cos2Bsin2B=sin2B4(1sin2B)sin2B， 10分 令sin2B=t，令f(t)=t4(1t)t=4t23t， 11分 又因为0＜sin2B<1，即0＜t<1， ∴当t=时，f(t)取最小值，且f(t)min=， 综上所述：的最小值为． 12分 21．解：（1）方法一：， 1分 因为在上单调递增， ∴恒成立， 故：当时，恒成立． 3分 设，则， 则， 易知，所以， 故令得到：；令得到：． ∴在上递减；在上递增． 5分 故：当时，． ∴实数a的取值范围：． 6分 方法二：， 因为在上单调递增，所以恒成立， 等价于：在上恒成立， 2分 设，则， ， 当时，， ∴在上递减，，符合题意． 3分 当时，易知在上递减，在上递增，在上递减， 因为， 故只需满足（由易得），符合题意． 4分 当时，易知在(1，a)上递减，在(a，2)上递增，在上递减， 因为，故只需满足，即， 当时，易知在(1，2)上递增，在上递减， 5分 ，不符合题意． 综上：实数a的取值范围：． 6分 （2）的极值点个数等价于的变号零点个数， 令，则等价于的变号零点个数， 7分 当时，；当时，， 由（1）可知，， 当时，易知在上递减，故有唯一变号零点1； 8分 当时，易知在上递减，在上递增，在上递减， 因为，，故有唯一变号零点1； 当且时，易知在上递减，在(a，2)上递增，在上递减， 9分 ，， 若，即时，有唯一变号零点1； 10分 若，即且时，有三个变号零点1，，， 且。 当时，易知在上递减， 在(1，2)上递增，在上递减， 11分 由于，，有唯一变号零点，且. 综上：当且时，有三个极值点； 当或时，有唯一极值点． 12分 22．解：（1）曲线C1的参数方程为C1：（t为参数）， 由得C1的普通方程为：； 2分 曲线C2的参数方程为C2：（为参数）， 所以C2的普通方程为：； 4分 （2）曲线C1的极坐标方程为：， 5分 ∴， 6分 由得：， ∴射线：与曲线C1交于A， 7分 曲线C2的极坐标方程为， 由得：， ∴射线：与曲线C2交于B， 9分 则==． 10分 23．解：（1） 1分 ∴， 2分 解得， 4分 ∴不等式的解集为； 5分 （2）证明：由，可得的最小值为， 6分 则，， ∴ 7分 8分 ，当且仅当时，等号成立， 9分 ∴． 10分 第 1 页 共 10 页 $$Mac OS X 2 ATTR com.apple.quarantine q/0082: