5.6.2 几何证明举例（2） 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

几何证明举例（2） 一、预习诊断 1.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,则它的周长是 ； 2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,则它的周长是 。 3.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为____ ___。等腰三角形一个角为80°，它的另外两个角是 1.进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。 2.能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 学习目标： 自学指导： 五分钟时间自主研读P177-179页，自学结束后，思考三个问题： 1.什么叫等腰三角形？ 2.根据本册第二章的学习你知道等腰三角形的哪些性质？ 3.这些性质你是怎样得到的？这些性质都是真命题吗？你能用逻辑推理的方法对它们进行证明吗？ 4 “对折”得 等腰三角形的两个底角相等。 证明定理、命题的过程： 1.画出图形 2.用数学语言描述定理，即写出“已知，求证” 3.写证明过程. 该如何证明呢 证明性质定理1：等腰三角形的两个底角相等 （简称：等边对等角） 已知：如图,在△ABC中,AB=AC. 求证：∠B=∠C 分析：常见辅助线做法 （1）作底边上的高 （2）作顶角的平分线 （3）作底边上的中线 通过添加辅助线把三角形ABC分成两个 全等的三角形，只要证得被分成的两个 三角形全等即可得∠B=∠C A B C D C B A 等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等。 在△ABC中， ∵ AC=AB（已知） ∴ ∠B=∠C （等边对等角） 通过证明我们发现:等腰三角形的两个底角相等是真命题。可以作为证明其他命题的依据。 符号表示： 交流与发现 根据以上证明，我们还可以得到结论：等腰三角形底边上的高平分底边并且平分顶角。即得到∠BAD=∠CAD与BD=CD，于是得 性质定理2： 等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底上的高互相重合(简称“三线合一”). A C B D A C B D ∥ ∥ 图⑵ 图⑶ ∟ 1 2 ∥ A C B D 1 2 性质定理2符号语言的应用 ∟ ⑴∵AB=AC, ∴AD⊥BC, BD=CD. ∠1=∠2, ∴AD⊥BC BD=CD, ∠1=∠2. ⑶∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠1=∠2. 图⑴ ∟ ∥ 1 2 (2)∵AB=AC, 对于“等腰三角形的两个底角相等”，有逆命题吗？逆命题是什么，怎样证明呢？ 逆命题： 有两个底角相等的三角形是等腰三角形. A B C D 1.作辅助线AD⊥BC. 2.根据∠ADB=∠ADC=90°，AD=AD，可推出AB=AC. 发现与证明 在△ABC中， AC=BC，得∠A=∠B; AB=BC，得∠A=∠C； ∴∠A=∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 等边三角形的每个内角都等于60°吗？它的逆命题又是什么？这个逆命题是真命题吗？ 拓展与延伸： 等边三角形的性质定理： 等边三角形的每个内角都是60° 在△ABC中， ∠A=∠B，得AC=BC; ∠A=∠C，得AB=BC； ∴AC=BC=AB. ∴△ABC是等边三角形. 等边三角形的每个内角都等于60°吗？它的逆命题又是什么？这个逆命题是真命题吗？ 三个角都相等的三角形是等边三角形。 此即等边三角形的判定定理. 拓展与延伸： 还有其他的方法判定等边三角形吗？ 等边三角形的判定定理： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 拓展与延伸： 例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。 求证：AD=AF. 证明：∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等腰三角形两底角相等)， ∴∠BDE=∠90°-∠B ∠F=∠90°-∠C(等角的余角相等). 又∵DE⊥BC（已知）， ∴△BED和△FEC都是直角三角形(直角三角形的定义). 例2：已知：在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。 求证：AD=AF. 接上 ∵∠BDE=∠FDA(对顶角相等). ∴∠FDA=∠F(等量代换). ∴AD=AF (有两个底角相等的三角形是等腰三角形). 议： 你能总结出证明角或线段相等的方法吗？与同学交流一下 证明角或线段的相等的方法： 展： 1）构造全等三角形，利用对应边和角相等证明； 2）找等腰或等边三角形； 3）对顶角相等； 4）等角的余角(或补角)相等；