5.6几何证明举例 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

5.6几何证明举例（4） 复习回顾： 1.什么叫角的平分线? 2.根据本册第二章的学习你知道角 的平分线有什么性质? 这个性质你是怎样得到的?这个性质是真命题吗?你能用逻辑推理的方法证明它的真实性吗? 学习目标： 1.掌握并证明角平分线的性质定理及其逆定理。（重点） 2.会运用角平分线的性质定理及其逆定理解决有关实际问题。（难点） 自学指导： 请同学们用8分钟的时间看课本182页到184页练习上面的内容。 1.完成本节交流与发现的（1）到（3）题，证明角平分线性质定理的真实性。 2.说出角平分线性质定理的逆命题并证明其真实性。 （证明时注意结合课本183页小女孩的提示） 一、精讲点拨 证明:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 P M N C B A D 已知：如图,BD是∠ABC的平分线,点P在BD上，PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别是点M和N. 求证:PM=PN 温馨提示：证明的推理过程可以用文字语言，也 可以用符号语言。 符号语言 角平分线的性质定理： ∵点P在的平分线BD上 PM⊥BA,PN⊥BC ∴PM=PN P M N C B A D 二、精讲点拨 你能说出角平分线的性质定理的逆命题吗？它是真命题吗？应如何证明它的真实性? 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. P N M B A C 已知:如图,点P是∠ABC内的一点，PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别是M与N，且PM=PN 求证:点P在∠ABC的平分线上 符号语言 角平分线的判定定理： ∵ PM⊥BA,PN⊥BC，PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线） P N M B A C 议一议： 怎样来证明三角形三条角平分线交于一点呢？ 要证明三角形的三条角平分线交与一点，只要证明两条角平分线的交点也在第三条角平分线上就可以了。 我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结论？ 例:已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三 条角平分线。 求证：AM，BN，CP交于一点。 证明: 设AM, BN交于点o, 过点o分别作OD⊥BC, OE⊥AC, OF⊥AB,垂足分别为点D,E, F. ∵o是∠BAC角平分线AM上的一点(已知)， ∴ OE=OF(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵o是∠ABC角平分线BN上的一点(已知)， ∴ OD=OF.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∴OD=OE (等量代换). ∵CP是∠ACB的平分线(已知)， ∴o在CP上(角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)， 因此，AM, BN, CP交于一点. 测1： 如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC， D、E是垂足。 求证：MD＝ME。 如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC = 90°, AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF. 求证：BF是∠ABC的平分线. 测2： 理： 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。 作用：证明两条线段相等 2.角平分线性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 作用:证明两个角相等或线是角平分 线 3.符号语言： 角平分线的性质定理：∵点P在的平分线BD上 且 PM⊥BA,PN⊥BC ∴PM=PN 角平分线的判定定理：∵ PM⊥BA,PN⊥BC，且 PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线） $$