5.5 三角形内角和定理 课件 2023—2024学年青岛版数学八年级上册

5.5 三角形内角和定理 证明命题的一般步骤: 回顾与思考 ☞ (1)根据题意,画出图形; (2)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”; (3)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; 学习目标 1.掌握三角形内角和定理，能利用三角形的内角和定理及其推论解决实际问题； 2.利用三角形内角和定理探索并掌握直角三角形的性质定理和判定定理。 自学指导（一） 请同学们用8分钟的时间，高效自学课本第 170页——第172页练习上面的内容，并 完成以下任务： 1.怎样证明三角形三个内角的和等于180°？ （用至少三种方法证明） 2.什么是推论？ 3.如何证明三角形外角与内角的关系？ 8分钟后检测，比一比谁的学习效果好！ 已知:如图,△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=1800. 证明:作BC的延长线CD,在△ABC的外部，以CA为一边，作∠1=∠A 例题欣赏 ☞ 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗? ∴ ∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等). 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=1800 (等量代换). 这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线. A B C E 2 1 3 D ∴ CE∥AB (内错角相等,两直线平行) 证明:过点A作DE∥BC,则 A B C ∠1=∠B(两直线平行,内错角相等), ∠2=∠C(两直线平行,内错角相等), 又∵∠1+∠2+∠3=1800 (平角的定义), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=1800 (等量代换). D E 2 3 1 解法2： D 解法3： 证明:过A作AD∥BC ∴∠B=∠DAB(两直线平行,内错角相等） ∵∠DAB+∠BAC+∠C= 1800(两直线平行,同旁内角互补） ∴∠B+∠BAC+∠C= 1800(等量代换） .三角形的一个外角与它不相邻的两个内角之间有何关系？并证明你的猜想。 想一想： A B C www.czsx.com.cn D ∵∠ACD+ ∠ACB=180° 又∵∠A+ ∠B+ ∠ACB=180° ∴∠A+ ∠B= ∠ACD 解： A B C ∴∠ACD =180 ° －∠ACB ∴∠A+ ∠B =180 ° －∠ACB （邻补角的定义） （三角形内角和180 ° ） (等量代换) www.czsx.com.cn 推论： 有基本事实或定理直接推出的真命题叫做推论 推论可以作为定理使用 www.czsx.com.cn 三角形外角的推论1： 三角形的一个外角等于 与它不相邻的两个内角的和。 ∠B+∠C=∠CAD A B C D www.czsx.com.cn 推论2、三角形的一个外角大于任何 一个与它不相邻的内角。 ∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C A B C D www.czsx.com.cn 测： 已知三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数. 解：设三个内角度数分别为：x,3x,5x, 列出方程 x+3x+5x=180°. x=20°. 答：三个内角度数分别为20°,60°,100°. 自学指导（二） 请同学们用5分钟的时间，高效自学课本第 172页——第173页的内容，并 完成以下任务： 1.怎样证明直角三角形的性质定理及其逆命题？ 2.完成例一 5分钟后检测，比一比谁的学习效果好！ 证明：在△ABC中, ∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定理）, ∠C= 90゜（已知）, ∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）. ∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜ （等式性质）. 即∠A+∠B=90゜. A B C 已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜ ， 求证：∠A＋∠B＝90゜. 结论: 直角三角形的两个锐角互余. 例题讲解 证明：∵CD⊥AB （已知） ∴ ∠ADC =90° （垂直定义） ∴在Rt△ACD中 ，∠A +∠ACD =90° （直角三角形两锐角互余） 　 ∵　∠ACB =90° （已知） ∴在Rt△ABC中 ， ∠A +∠B=90° （直角三角形两锐角互余） ∵　∠A =∠A （已知） ∴　∠ACD =∠B（同角的余角相等） （证一证、说一说） 例1 如图，∠ACB =9