第18期 第15章 轴对称图形与等腰三角形 小结与复习-【数理报】2023-2024学年八年级上册数学学案（沪科安徽专版）

书书书 １８． （１０ 分 ） 如 图 １３ － ① ，在 Ｒ ｔ△ ＡＢＣ 中 ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，∠ ＢＡＣ ＝ ９０°，点 Ｄ 为 △ ＡＢＣ 外 一 点 ，且 ＢＤ ＝ ＢＣ ，∠ Ｄ ＢＣ ＝ ３０°，连 接 ＡＤ ． （１ ） 若 ＢＣ ＝ ４ ，则 Ｄ 到 ＢＣ 边 的 距 离 为 ； （２ ） 小 明 在 图 １３ － ① 的 基 础 上 ，以 ＡＢ 为 对 称 轴 构 造 △ ＡＢＤ 的 轴 对 称 图 形 △ ＡＢＥ ，得 到 图 １３ － ② ，连 接 ＣＥ ，请 判 断 △ ＢＣＥ 的 形 状 ，并 证 明 你 的 结 论 ． １９． （１０ 分 ） 定 义 ：一 个 三 角 形 ，若 过 一 个 顶 点 的 线 段 将 这 个 三 角 形 分 为 两 个 三 角 形 ，其 中 一 个 是 直 角 三 角 形 ，另 一 个 是 等 腰 三 角 形 ，则 称 这 个 三 角 形 是 等 直 三 角 形 ，这 条 线 段 叫 做 这 个 三 角 形 的 等 直 分 割 线 段 ． （１ ） 如 图 １４ ，已 知 Ｒ ｔ△ ＡＢＣ 中 ，∠ Ｃ ＝ ９０°，Ｄ Ｅ 是 ＡＢ 的 垂 直 平 分 线 ， 请 说 明 ＡＤ 是 △ Ａ ＢＣ 的 一 条 等 直 分 割 线 段 ； （２ ） 若 △ ＡＢＣ 是 一 个 等 直 三 角 形 ， 恰 好 有 两 条 等 直 分 割 线 段 ，∠ Ｂ 和 ∠ Ｃ 均 小 于 ４５°．求 证 ：△ ＡＢＣ 是 等 腰 三 角 形 ． ２０． （１２ 分 ） 在 等 腰 △ ＡＢＣ 中 ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，Ｄ 为 ＡＢ 上 一 点 ，Ｅ 为 ＣＤ 的 中 点 ． （１ ） 如 图 １５ ，连 接 ＡＥ ，作 ＥＨ ⊥ ＡＣ．若 ＡＤ ＝ ２ＢＤ ，Ｓ △ ＢＤ Ｃ ＝ ６ ，ＥＨ ＝ ２ ， 求 ＡＢ 的 长 ； （ ２ ） 如 图 １６ ，Ｆ 为 ＡＣ 上 一 点 ， 连 接 ＢＦ ，ＢＥ． 若 ∠ ＢＡＣ ＝ ∠ ＡＢＥ ＝ ∠ ＣＢＦ ，求 证 ：ＢＤ ＋ ＣＦ ＝ ＡＢ （ 提 示 ： 延 长 ＢＥ 构 造 全 等 三 角 形 ）． ２１． （１４ 分 ） 如 图 １７ ，△ ＡＢＣ ，△ ＣＤ Ｅ 都 是 等 边 三 角 形 ，ＡＤ ，ＢＥ 相 交 于 点 Ｏ ，点 Ｍ ，Ｎ 分 别 是 线 段 ＡＤ ，ＢＥ 的 中 点 ． （ １ ） 求 证 ：ＡＤ ＝ ＢＥ ； （２ ） 求 ∠ Ｄ Ｏ Ｅ 的 度 数 ； （ ３ ） 求 证 ：△ Ｍ Ｎ Ｃ 是 等 边 三 角 形 ． !"# $ %&!' $ ()*+,-./01 !"# $ %&!' $ ()2+,-./01 ! ! " ! " # $ ! " # $ % ! " " % $ # ! ! # ! % $ # & ' ( " ! ! ! $ # ) ! % $ " # % * ! $ " ! ! % ! ! & ! " # $ % & ' ( ) * ! % + , 书 上期３版 一、１．Ｂ；　２．Ａ； ３．Ｄ；　４．Ｃ； ５．Ｃ；　６．Ｂ； ７．Ｂ；　８．Ｄ． 二、９．答案不惟一， 如ＯＤ＝ＯＣ； １０．１５０°； １１．１０； １２．９０°． 三、１３．图略（提示： 作线段 ＡＣ的垂直平分 线以及作∠ＢＡＣ的平分 线，两线的交点即为水 站Ｐ的位置）． １４．因为ＤＥ⊥ＡＢ， ＤＦ⊥ ＡＣ，所以 ∠Ｅ＝ ∠ＤＦＣ ＝ ９０°． 在 Ｒｔ△ＢＤＥ和 Ｒｔ△ＣＤＦ 中，因为 ＢＤ＝ＣＤ， ＢＥ＝ＣＦ{ ，所 以 Ｒｔ△ＢＤＥ ≌ Ｒｔ△ＣＤＦ（ＨＬ）． 所 以 ＤＥ＝ＤＦ．所以ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ． １５．过点Ｄ作ＤＦ⊥ ＡＣ于点 Ｆ，图略．在 Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＢＤ ＝４， ∠Ｂ＝３０°，所以 ＤＥ＝ １ ２ＢＤ＝２．因为 ＡＤ是 △ＡＢＣ中∠ＢＡＣ的平分 线，ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＡＣ， 所以ＤＦ＝ＤＥ＝２．因 为Ｓ△ＡＣＤ ＝７，所以 １ ２× ２ＡＣ＝７．解得ＡＣ＝７． 书 线段的垂直平分线和 角的平分线是考试中的 “常客”，利用这“两线”的 性质可以帮助同学们解决 很多问题，下面选取几例 加以剖析，供同学们参考． 一、线段的垂直平分 线 例 １　 如 图 １，在 △ＡＢＣ中，ＤＥ是 ＡＣ的垂 直平分线，且分别交 ＢＣ， ＡＣ于点 Ｄ和 Ｅ，∠Ｂ ＝ ６０°，∠Ｃ＝２５°，则 ∠ＢＡＤ ＝ （　　） Ａ．５０°　　　Ｂ．７０° Ｃ．７５° Ｄ．８０° 解：因为ＤＥ是ＡＣ的垂直平分线，所以ＤＡ＝ＤＣ． 所以∠ＤＡＣ＝∠Ｃ＝２５°． 因为∠Ｂ＝６０°，∠Ｃ＝２５°，所以∠ＢＡＣ＝９５°． 所以∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ－∠ＤＡＣ＝７０°． 故选Ｂ． 二、角的平分线 例 ２　 如图 ２，点 Ｐ是 △ＡＢＣ的三个内角平